1. 设 G \mathbb{G} G是群， H \mathbb{H} H是 G \mathbb{G} G的子群。任取 g 1 , g 2 ∈ G g_{1},g_{2}\in\mathbb{G} g1​,g2​∈G，则 g 1 H = g 2 H g_{1}\mathbb{H}=g_{2}\mathbb{H} g1​H=g2​H当且仅当 g 1 − 1 g 2 ∈ H g_{1}^{-1}g_{2}\in\mathbb{H} g1−1​g2​∈H

充分性证明：

∃ h 1 , h 2 ∈ H \exists h_{1},h_{2}\in\mathbb{H} ∃h1​,h2​∈H，使得 g 1 h 1 = g 2 h 2 g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2} g1​h1​=g2​h2​，则有 h 1 = g 1 − 1 g 2 h 2 h_{1}=g_{1}^{-1}g_{2}h_{2} h1​=g1−1​g2​h2​， 最终可得 h 1 h 2 − 1 = g 1 − 1 g 2 h_{1}h_{2}^{-1}=g_{1}^{-1}g_{2} h1​h2−1​=g1−1​g2​，而 h 1 h 2 − 1 h_{1}h_{2}^{-1} h1​h2−1​由于封闭性，一定属于群 H \mathbb{H} H ，故 g 1 − 1 g 2 ∈ H g_{1}^{-1}g_{2}\in\mathbb{H} g1−1​g2​∈H，证毕

必要性证明：

由于 g 1 − 1 g 2 ∈ H g_{1}^{-1}g_{2}\in\mathbb{H} g1−1​g2​∈H，则 ∃ h ∈ H \exists h\in\mathbb{H} ∃h∈H，使得 g 1 − 1 g 2 = h g_{1}^{-1}g_{2}=h g1−1​g2​=h，则有 g 2 = g 1 h g_{2}=g_{1}h g2​=g1​h，即 g 2 ∈ g 1 H g_{2}\in g_{1}\mathbb{H} g2​∈g1​H，又由陪集性质可得 g 1 H = g 2 H g_{1}\mathbb{H}=g_{2}\mathbb{H} g1​H=g2​H，证毕

2. 如果 G \mathbb{G} G是群， H \mathbb{H} H是 G \mathbb{G} G的子群，且 [ G : H ] = 2 [\mathbb{G}:\mathbb{H}]=2 [G:H]=2，证明对任意 g ∈ G g\in\mathbb{G} g∈G， g H = H g g\mathbb{H}=\mathbb{H}g gH=Hg

• 若 g ∈ H g\in\mathbb{H} g∈H，由于封闭性， g H = H g = H g\mathbb{H}=\mathbb{H}g=\mathbb{H} gH=Hg=H，证毕
• 若 g ∉ H g\notin\mathbb{H} g∈/​H，由于陪集性质， g H ≠ H g\mathbb{H}\neq\mathbb{H} gH​=H， H g ≠ H \mathbb{H}g\neq\mathbb{H} Hg​=H
  又因为 [ G : H ] = 2 [\mathbb{G}:\mathbb{H}]=2 [G:H]=2，即群 G \mathbb{G} G 被子群 H \mathbb{H} H 的两个陪集划分，其中一个陪集是 H \mathbb{H} H 本身，另一个陪集记为 H ′ \mathbb{H'} H′ 。
  而又因为作为陪集的 g H , H g g\mathbb{H},\mathbb{H}g gH,Hg都是不等于 H \mathbb{H} H的，则 g H , H g g\mathbb{H},\mathbb{H}g gH,Hg一定都等于 H ′ \mathbb{H'} H′ ，即 g H = H g = H ′ g\mathbb{H}=\mathbb{H}g=\mathbb{H'} gH=Hg=H′，证毕

3. 如果群 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的真子群，证明 ∣ H ∣ ≤ ∣ G ∣ / 2 |\mathbb{H}| \leq|\mathbb{G}|/2 ∣H∣≤∣G∣/2

根据拉格朗日定理， ∣ G ∣ / ∣ H ∣ = k |\mathbb{G}|/|\mathbb{H}|=k ∣G∣/∣H∣=k， k k k为正整数
又因为群 H \mathbb{H} H是群 G \mathbb{G} G的真子群，则 k ≠ 1 k\neq1 k​=1，故有 ∣ G ∣ / ∣ H ∣ = k ≥ 2 |\mathbb{G}|/|\mathbb{H}|=k\geq2 ∣G∣/∣H∣=k≥2 成立，转化后可得 ∣ H ∣ ≤ ∣ G ∣ / 2 |\mathbb{H}| \leq|\mathbb{G}|/2 ∣H∣≤∣G∣/2，证毕

4. 设群 G \mathbb{G} G是阶为 p q pq pq的群，其中 p p p和 q q q是素数。证明 G \mathbb{G} G的任意真子群是循环群

因为 p , q p,q p,q 均是素数，能整除 p q pq pq 的只有 1 , p , q , p q 1,p,q,pq 1,p,q,pq，则根据拉格朗日定理，则其真子群的阶有 1 , p , q 1,p,q 1,p,q

• 真子群阶为 1 1 1 时，即为平凡子群，显然是循环群
• 真子群阶为 p , q p,q p,q 时，根据拉格朗日定理推论，素数阶数的有限群一定是循环群

5. 用群论证明费马小定理和欧拉定理

费马小定理

构造在模数为素数 p p p 下的整数乘法群 Z p ∗ \mathbb{Z}_{p}^{*} Zp∗​ ，其阶数为 p − 1 p-1 p−1

任取元素 a ∈ Z p ∗ a\in\mathbb{Z}_{p}^{*} a∈Zp∗​，根据拉格朗日定理，则有 o r d ( a ) ∣ p − 1 ord(a)\mid p-1 ord(a)∣p−1 ，即 p − 1 = k ∗ o r d ( a ) p-1=k*ord(a) p−1=k∗ord(a)， k k k为正整数，则 a p − 1 {a}^{p-1} ap−1 m o d mod mod p = a k ∗ o r d ( a ) p={a}^{k*ord(a)} p=ak∗ord(a) m o d mod mod p = 1 k m o d p={1}^{k} mod p=1kmod p = 1 p=1 p=1，故得到费马小定理： a p − 1 ≡ 1 a^{p-1}\equiv 1 ap−1≡1 ( m o d mod mod p p p)

欧拉定理

构造在模数为 n n n 下的整数乘法群 Z n ∗ \mathbb{Z}_{n}^{*} Zn∗​ ， Z n ∗ = { a ∈ [ 1 … n − 1 ] 且 g c d ( a , n ) = 1 } \mathbb{Z}_{n}^{*}=\left \{ a\in[1…n-1]且gcd(a,n)=1\right \} Zn∗​={a∈[1…n−1]且gcd(a,n)=1}，其阶数为欧拉函数值 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)

任取元素 a ∈ Z n ∗ a\in\mathbb{Z}_{n}^{*} a∈Zn∗​，根据拉格朗日定理，则有 o r d ( a ) ∣ ϕ ( n ) ord(a)\mid \phi(n) ord(a)∣ϕ(n) ，即 ϕ ( n ) = k ∗ o r d ( a ) \phi(n)=k*ord(a) ϕ(n)=k∗ord(a)， k k k为正整数，则 a ϕ ( n ) {a}^{\phi(n)} aϕ(n) m o d mod mod n = a k ∗ o r d ( a ) n={a}^{k*ord(a)} n=ak∗ord(a) m o d mod mod n = 1 k m o d n={1}^{k} mod n=1kmod n = 1 n=1 n=1，故得到欧拉定理： a ϕ ( n ) ≡ 1 a^{\phi(n)}\equiv 1 aϕ(n)≡1 ( m o d mod mod n n n)