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题目

1949年—1994年我国人口数据资料如下：
年 份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94
人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8
建模分析我国人口增长的规律, 预报1999年我国人口数（亿）。
1. 在坐标系上作观测数据的散点图；
2. 根据散点分布的几何特征提出模型；
3. 利用数据估计模型的参数；
4. 计算拟合效果。

第一步–画出散点图

matlab代码如下：

x= [49 54 59 64 69 74 79 84 89 94] ;
y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ];
a=polyfit(x,y,1);

得到结果：
根据散点图的分布情况我们可以提出两个模型：
模型一：假设人口数量随时间线性增加

y = a*x + b

模型二：指数增长模型

y = a * exp(b * x)

转化为：

lny = lna + b*x

第二步–利用matlab画出两中模型的拟合函数

代码如下：

x= [1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994] ;
y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ];
x1=1949:10:1994;
a=polyfit(x,y,1);     %散点图
y1=a(2)+a(1)*x1;		%模型一
b=polyfit(x,log(y),1);   
y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1);		%模型二  用exp是要将ln转化回去
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x1,y1,'--r')
hold on
plot(x1,y2,'-k')
legend('原曲线','模型一曲线','二曲线')

得到拟合后的曲线图：
求得拟合函数为：

模型一：y = 0.146 * x - 1.93
模型二：y = 2.33*exp(0.0179 * x)
(此时的x带入年份的后两位)

第三步–利用拟合函数预测1999年的人口数量并计算拟合精度

预测结果：

模型一预测1999年的人口数量为：12.524亿
预测1999年的人口数量为：13.708亿

拟合精度计算公式：

1. 总平方和 SST(total sum of squares) : ∑ i = 1 n ( s i − y i ) 2 \sum_{i=1}^{n} (s_i-y_i)^2 ∑i=1n​(si​−yi​)2

利用matlab计算
代码如下：

x= [49 54 59 64 69 74 79 84 89 94];
s=0.146*x-1.93;   %求得拟合函数对应得函数值
y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ];
a=s-y;  %两者相减得到每个函数值的误差
b=a.';  %对其进行转置方便计算误差的平方和 
c=a*b; %拟合函数的精度

计算得到拟合精度为：0.3531