文章目录

• 一、理论基础
• • 1、堆优化算法(HBO)
  • 2、HBO算法伪代码
• 二、仿真实验与分析
• 三、参考文献

一、理论基础

堆优化算法(Heap-based optimizer, HBO)模拟公司层次结构建立的树状结构，目前它选择的是三元堆或者说是一个三叉树。企业等级制度的最终目标是以最好的方式完成与业务相关的任务，主要包括三个数学模型：下属与直接领导的交互、与同事的交互和个体的自我贡献。

1、堆优化算法(HBO)

与直接领导交互的数学模型可以描述为： X i k ( t + 1 ) = B k + γ λ k ∣ B k − X i k ( t ) ∣ (1) X_i^k(t+1)=B^k+\gamma\lambda^k|B^k-X_i^k(t)|\tag{1} Xik​(t+1)=Bk+γλk∣Bk−Xik​(t)∣(1) γ = ∣ 2 − 4 mod ( T , 25 ) / 25 ∣ (2) \gamma=|2-4\text{mod}(T,25)/25|\tag{2} γ=∣2−4mod(T,25)/25∣(2) λ k = 2 r − 1 (3) \lambda^k=2r-1\tag{3} λk=2r−1(3)其中， t t t是当前迭代次数， T T T是最大迭代次数， B B B是当前个体的直接领导， r r r是均匀分布在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]中的随机数。在迭代过程中， γ \gamma γ是一个三角波，它的值在1的左右波动，从2到0，或从0到2。
在堆中，位于同一层的个体都是其同事，每个个体 X → i \overrightarrow X_i X i​根据其随机选择的同事 S → r \overrightarrow S_r S r​更新其位置，其数学模型见式(4)： X i k ( t + 1 ) = { S r k + γ λ k ∣ S r k − X i k ( t ) ∣ ,   f ( S → r ) < f ( X → i ( t ) ) X i k + γ λ k ∣ S r k − X i k ( t ) ∣ , f ( S → r ) ≥ f ( X → i ( t ) ) (4) X_i^k(t+1)=\begin{dcases}S_r^k+\gamma\lambda^k|S_r^k-X_i^k(t)|,\quad\, f(\overrightarrow S_r)<f(\overrightarrow X_i(t))\\X_i^k+\gamma\lambda^k|S_r^k-X_i^k(t)|,\quad f(\overrightarrow S_r)≥f(\overrightarrow X_i(t))\end{dcases}\tag{4} Xik​(t+1)={Srk​+γλk∣Srk​−Xik​(t)∣,f(S r​)<f(X i​(t))Xik​+γλk∣Srk​−Xik​(t)∣,f(S r​)≥f(X i​(t))​(4)其中， f f f是目标函数。对于极小值问题，若 f ( S → r ) < f ( X → i ( t ) ) f(\overrightarrow S_r)<f(\overrightarrow X_i(t)) f(S r​)<f(X i​(t))，个体可以探索 S → r \overrightarrow S_r S r​周围的区域；若 f ( S → r ) ≥ f ( X → i ( t ) ) f(\overrightarrow S_r)≥f(\overrightarrow X_i(t)) f(S r​)≥f(X i​(t))，个体可以探索 X → i \overrightarrow X_i X i​周围的区域，以保证搜索向好的方向发展。
在个体的自我贡献的模型中，个体在前一次迭代中的一些位置信息会一直保留到下一次迭代。即个体 X → i \overrightarrow X_i X i​在下一次迭代中不会改变其第 k k k个分量的值。 X i k ( t + 1 ) = X i k ( t ) (5) X_i^k(t+1)=X_i^k(t)\tag{5} Xik​(t+1)=Xik​(t)(5)在HBO中， p 1 p_1 p1​、 p 2 p_2 p2​和 p 3 p_3 p3​决定了个体将会在这三个数学模型中选择哪个模型进行更新。选择概率的计算方法如下： p 1 = 1 − t T (6) p_1=1-\frac tT\tag{6} p1​=1−Tt​(6) p 2 = p 1 + 1 − p 1 2 (7) p_2=p_1+\frac{1-p_1}{2}\tag{7} p2​=p1​+21−p1​​(7) p 3 = p 2 + 1 − p 1 2 = 1 (8) p_3=p_2+\frac{1-p_1}{2}=1\tag{8} p3​=p2​+21−p1​​=1(8)HBO通过 p 1 p_1 p1​选择自我贡献模型更新个体，通过 p 2 p_2 p2​选择与直接领导交互的数学模型更新个体，通过 p 3 p_3 p3​选择与同事交互的数学模型更新个体。

2、HBO算法伪代码

HBO算法伪代码如下所示：

设置参数并随机初始化种群
评估种群中个体的适应度值，获取全局最优解 
构建堆
for t=1 to T do
	for i=N to 2 do
		for j=1 to D do
			p = rand
			if p≤p1
				通过式(5)更新个体位置
			elseif p≤p2
				通过式(1)更新个体位置
			else
				通过式(4)更新个体位置
			end if 
		end for
		边界控制，计算个体的适应度值 
		贪心选择更新种群 
		更新堆，更新全局最优解
	end for
end for
输出全局最优解

二、仿真实验与分析

为了验证HOA的寻优性能，将其与MVO、MFO、SCA、PSO进行对比，以文献[1]中的f52、f53、f56、f58、f62、f65、f66、f68为例。仿真实验中，5种算法的运行次数、种群规模、空间维度和最大迭代次数都保持一致，即 N = 40 , d i m = 30 , M a x _ i t e r = 1000 N=40,dim=30,Max\_iter=1000 N=40,dim=30,Max_iter=1000，每个算法分别独立运行30次。结果显示如下：

函数：F52
MVO：最差值: 211.064,最优值:101.681,平均值:155.7958,标准差:26.0195,秩和检验:3.018e-11
MFO：最差值: 182.856,最优值:98.5464,平均值:136.828,标准差:26.2753,秩和检验:3.018e-11
SCA：最差值: 307.3645,最优值:270.2184,平均值:287.0837,标准差:8.543,秩和检验:3.018e-11
PSO：最差值: 330.8335,最优值:192.1346,平均值:283.4069,标准差:43.5351,秩和检验:3.018e-11
HBO：最差值: 11.8438,最优值:1.2728e-05,平均值:5.3955,标准差:3.9457,秩和检验:1
函数：F53
MVO：最差值: 191.1514,最优值:61.7417,平均值:108.5901,标准差:30.1568,秩和检验:3.018e-11
MFO：最差值: 242.0581,最优值:95.5866,平均值:159.2234,标准差:36.2839,秩和检验:3.018e-11
SCA：最差值: 92.928,最优值:6.1775e-06,平均值:19.4962,标准差:27.7064,秩和检验:0.64142
PSO：最差值: 90.1476,最优值:26.565,平均值:51.8968,标准差:13.447,秩和检验:3.018e-11
HBO：最差值: 6.9647,最优值:0.99496,平均值:4.2452,标准差:1.8648,秩和检验:1
函数：F56
MVO：最差值: 8.888,最优值:1.77,平均值:4.3319,标准差:1.7228,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 19.7608,最优值:5.8027e-06,平均值:4.5296,标准差:5.7016,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 0.089923,最优值:7.649e-05,平均值:0.010243,标准差:0.017799,秩和检验:3.0199e-11
PSO：最差值: 2.6854,最优值:0.17142,平均值:0.92583,标准差:0.57549,秩和检验:3.0199e-11
HBO：最差值: 2.5821e-06,最优值:1.4358e-13,平均值:1.5626e-07,标准差:4.9198e-07,秩和检验:1
函数：F57
MVO：最差值: 9.9815,最优值:0.00010717,平均值:0.76633,标准差:2.0537,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 1609630106.3936,最优值:3521.8979,平均值:67933285.2464,标准差:292420436.3928,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 0.72932,最优值:2.0792e-10,平均值:0.029731,标准差:0.13478,秩和检验:3.1589e-10
PSO：最差值: 72.6817,最优值:4.7463e-05,平均值:3.2683,标准差:13.4487,秩和检验:3.3384e-11
HBO：最差值: 5.2777e-05,最优值:8.3571e-21,平均值:1.7602e-06,标准差:9.6354e-06,秩和检验:1
函数：F58
MVO：最差值: 2.0664,最优值:0.09946,平均值:1.0191,标准差:0.69936,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 19.9645,最优值:0.0023143,平均值:15.0424,标准差:7.9098,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 20.297,最优值:4.744e-05,平均值:13.0569,标准差:9.2268,秩和检验:3.0199e-11
PSO：最差值: 2.5884,最优值:0.035501,平均值:1.3998,标准差:0.70149,秩和检验:3.0199e-11
HBO：最差值: 1.2159e-10,最优值:4.3689e-12,平均值:2.8884e-11,标准差:3.0036e-11,秩和检验:1
函数：F62
MVO：最差值: 0.10342,最优值:0.0156,平均值:0.0405,标准差:0.019097,秩和检验:7.8566e-12
MFO：最差值: 3.0919,最优值:6.6597e-07,平均值:0.3093,标准差:0.87696,秩和检验:7.8566e-12
SCA：最差值: 0.32443,最优值:1.2039e-07,平均值:0.042849,标准差:0.085921,秩和检验:7.8566e-12
PSO：最差值: 0.076388,最优值:0.0004588,平均值:0.012453,标准差:0.015401,秩和检验:7.8566e-12
HBO：最差值: 2.8547e-11,最优值:0,平均值:1.064e-12,标准差:5.2271e-12,秩和检验:1
函数：F65
MVO：最差值: 0.16349,最优值:0.014097,平均值:0.052552,标准差:0.03636,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 1.6439,最优值:7.671e-05,平均值:0.077576,标准差:0.30425,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 6677.416,最优值:1.7833,平均值:302.8989,标准差:1272.3339,秩和检验:3.0199e-11
PSO：最差值: 0.034022,最优值:0.00066859,平均值:0.0081244,标准差:0.0084745,秩和检验:3.0199e-11
HBO：最差值: 6.0684e-20,最优值:7.5179e-23,平均值:5.5285e-21,标准差:1.1829e-20,秩和检验:1
函数：F66
MVO：最差值: 7.4294,最优值:0.0022331,平均值:1.3449,标准差:1.4754,秩和检验:3.0199e-11
MFO：最差值: 1.5113,最优值:1.6542e-06,平均值:0.23741,标准差:0.42486,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 6.0264,最优值:0.26732,平均值:1.2747,标准差:1.513,秩和检验:3.0199e-11
PSO：最差值: 5.6573,最优值:0.00057109,平均值:2.2011,标准差:1.3915,秩和检验:3.0199e-11
HBO：最差值: 8.0067e-21,最优值:7.1095e-24,平均值:9.2849e-22,标准差:1.9276e-21,秩和检验:1
函数：F68
MVO：最差值: 0.026324,最优值:0.005155,平均值:0.013884,标准差:0.0059283,秩和检验:0.77312
MFO：最差值: 40.3371,最优值:0.0462,平均值:6.2696,标准差:10.1312,秩和检验:3.0199e-11
SCA：最差值: 0.1634,最优值:0.0023236,平均值:0.02997,标准差:0.034871,秩和检验:0.012212
PSO：最差值: 8.0612,最优值:0.0013099,平均值:0.90147,标准差:2.2659,秩和检验:0.0038481
HBO：最差值: 0.020456,最优值:0.0068732,平均值:0.013077,标准差:0.0041165,秩和检验:1

实验结果表明，HBO算的性能优于其他算法。

三、参考文献

[1] Qamar Askari, Mehreen Saeed, Irfan Younas. Heap-based optimizer inspired by corporate rank hierarchy for global optimization[J]. Expert Systems with Applications, 2021, 161: 113702.
[2] 张新明, 温少晨, 刘尚旺. 差分扰动的堆优化算法[J/OL]. 计算机应用: 1-9[2021-11-08].