文章目录

• 基础概念和定义
• 神经元模型
• 求解 V(t)

基础概念和定义

由于细胞外正离子和细胞内负离子的存在，细胞膜的两侧形成了离子浓度差，可以假设神经元是一个电容 Q Q Q。

对于电容 Q Q Q:
Q = C m V (1) Q = C_mV \tag{1} Q=Cm​V(1)

Q Q Q是电容存储电荷的总量
C m C_m Cm​是膜上的电容
V V V是膜上的电压

对于膜上电容 C m C_m Cm​：
C m = c m A (2) C_m = c_mA\tag{2} Cm​=cm​A(2)
c m c_m cm​是单位电容
A A A是膜的面积

对于膜的电阻 R m R_m Rm​：

R m = r m A (3) R_m =\frac{ r_m }{A} \tag{3} Rm​=Arm​​(3)

r m r_m rm​是单位电阻
A A A是膜的面积

前提：
离子从高浓度往低浓度流。
膜上电流由离子流动产生。

假设：
V V V越大，正离子越不进入膜内。

对于膜上电流 I m I_m Im​：

I m = E − V R m (4) I_m = \frac{E-V}{R_m} \tag{4} Im​=Rm​E−V​(4)

离子不流动时的电压 E E E（平衡电势）
膜上电压 V V V

V − E > 0 V-E>0 V−E>0，正离子从膜内往膜外流。
V − E < 0 V-E<0 V−E<0，正离子从膜外往膜内流。

细胞外部注入神经元的电流 I e I_e Ie​:

I e = V e R m (5) I_e=\frac{V_e}{R_m}\tag{5} Ie​=Rm​Ve​​(5)

细胞外部注入神经元的电压 V e V_e Ve​

神经元模型

以电容的变化建立模型。
前提：
I = d Q d t I = \frac{dQ}{dt} I=dtdQ​, Q = C m V ( t ) Q = C_mV(t) Q=Cm​V(t)

假设:
电流由膜电流 I m I_m Im​和外部电流 I e I_e Ie​组成。

I m + I e = d Q d t = C m d V d t (6) I_m + I_e= \frac{dQ}{dt} = C_m\frac{dV}{dt}\tag{6} Im​+Ie​=dtdQ​=Cm​dtdV​(6)

由公式 ( 4 ) ( 5 ) (4)(5) (4)(5)带入公式 ( 6 ) (6) (6)得到：

( E − V ) R m + V e R m = C m d V d t \frac{(E-V)}{R_m}+\frac{V_e}{R_m} = C_m\frac{dV}{dt} Rm​(E−V)​+Rm​Ve​​=Cm​dtdV​

( E − V ) + R m I e = T m d V d t (7) (E-V) + R_mI_e =T_m\frac{dV}{dt} \tag{7} (E−V)+Rm​Ie​=Tm​dtdV​(7)

C m R m = T m C_mR_m=T_m Cm​Rm​=Tm​, T m T_m Tm​是一个常数。

此时，已经得到神经元的微分方程

求解 V(t)

特殊情况
当时间趋向无穷大时，电压不再发生变化 d V d t = 0 \frac{dV}{dt} = 0 dtdV​=0
则公式 ( 6 ) (6) (6)可以变成：
V ∞ = R m I e + E (8) V_∞ = R_mI_e+E\tag{8} V∞​=Rm​Ie​+E(8)

V ∞ V_∞ V∞​是时间趋向无穷大时，膜的电压。

由公式 ( 6 ) (6) (6)可知，
只需要对V解微分方程可以得到V(t)

假设
电压是随时间变化的变量 V ( t ) V(t) V(t)
V ( t ) = V ∞ + f ( t ) (9) V(t) = V_∞ + f(t) \tag{9} V(t)=V∞​+f(t)(9)

带入公式 ( 6 ) (6) (6)得：
T m d f ( t ) d t = R m I e + E − V − f ( t ) (10) T_m\frac{df(t)}{dt} = R_mI_e+E-V - f(t) \tag{10} Tm​dtdf(t)​=Rm​Ie​+E−V−f(t)(10)

积分得到：
f ( t ) = f ( 0 ) e − t T m (11) f(t) = f(0)e^{-\frac{t}{T_m}}\tag{11} f(t)=f(0)e−Tm​t​(11)

假设电压变化体现在 f ( t ) f(t) f(t)，则有：
f ( 0 ) = V ( 0 ) − V ∞ (12) f(0) = V(0) - V_∞\tag{12} f(0)=V(0)−V∞​(12)

由 ( 10 ) ( 11 ) (10)(11) (10)(11)代入(8)可得：
V ( t ) = V ∞ + f ( t ) = V ∞ + ( V ( 0 ) − V ∞ ) e − t T m (13) V(t) = V_∞ + f(t) = V_∞ +(V(0) - V_∞)e^{-\frac{t}{T_m}}\tag{13} V(t)=V∞​+f(t)=V∞​+(V(0)−V∞​)e−Tm​t​(13)

显然，
当t=0，有 V ( t ) = 0 V(t) = 0 V(t)=0
当t趋近于∞，有 V ( t ) = V ∞ V(t) = V_∞ V(t)=V∞​