复杂度

• 算法效率
• 时间复杂度
• • 什么是时间复杂度
  • 推导大 O 阶的方法
  • 算法情况
  • 计算冒泡排序的时间复杂度
  • 计算二分查找的时间复杂度
  • 计算阶乘递归的时间复杂度
  • 计算斐波那契递归的时间复杂度？
• 空间复杂度
• • 计算冒泡排序的空间复杂度
  • 计算斐波那契数列的空间复杂度（非递归）
  • 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度

算法效率

在使用当中，算法效率分为两种，一是时间效率(时间复杂度)，二是空间效率(空间复杂度)。时间复杂度是指程序运行的速度。空间复杂度是指一个算法所需要的额外的空间。

时间复杂度

什么是时间复杂度

计算程序运行的时间不能拿简单的时间来计算，因为不同处理器处理数据的能力是不一样的。所以只算一个大概的次数就行了，俨然就是算法中的基本操作的执行次数。用大O的渐进法来表示

例：计算 func1 的基本操作执行了几次

void func1(int N){
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; i++) {
        for (int j = 0; j < N ; j++) {
            count++;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

func1 的基本执行次数是：F(N) = N^2 + 2*N + 10

推导大 O 阶的方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

所以使用大 O 的渐进法表示之后，func1 的时间复杂度就是：O(N^2)

算法情况

因为当我们用算法计算的时候，会有最好情况和最坏情况和平均情况。我们常说的时间复杂度在 O(N) 这里的时间复杂度就是最坏情况。
最好情况就是最小的运行次数。

举例一：

void func2(int N){
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
        count++;
    }
    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

这里的结果是 O(N) 因为根据时间复杂度的计算方法，去除常数，所以 2*N 就是 N 。M 是 10 也可以忽略掉。

举例二：

void func3(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
        count++;
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

这里的时间复杂度是 O(M+N) 因为 M 和 N 的值是未知的，所以是 O(M+N)

举例三：

void func4(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

这个的时间复杂度是 O(1) 因为循环里面是常数，所以根据大 O 渐进法，结果就是 O(1)

计算冒泡排序的时间复杂度

public static void bubbleSort(int[] arr){
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
            if(arr[j] > arr[j+1]){
                int tmp = arr[j];
                arr[j] = arr[j+1];
                arr[j+1] = tmp;
            }
        }
    }
}

因为冒泡排序的特殊性，可能一次就排好了，也可能得一直排到最后，所以就有了最好情况和最坏情况。

最好情况：就是比较一次，就是 O(N)
最坏情况：一直排到最后，就是 O(N^2)

计算二分查找的时间复杂度

int binarySearch(int[] array, int value) {
    int begin = 0;
    int end = array.length - 1;
    while (begin <= end) {
        int mid = begin + ((end-begin) / 2);
        if (array[mid] < value)
            begin = mid + 1;
        else if (array[mid] > value)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

因为二分查找是一半一半的找，所以每次查找之后都会把查找范围减半，比如说在一个 1 - 8 的有序数组里面查找 8 也就是查找最坏情况。图示如下：

如图，在数组当中完成二分查找需要 log2n - 1 次也就是时间复杂度是 log2n （就是 log 以 2 为底 n 的对数）

计算阶乘递归的时间复杂度

long factorial(int N) {
	return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

计算递归的时间复杂度：递归的次数 * 每次递归执行的次数。

所以这次递归的时候，基本操作递归了 N 次，所以时间复杂度就是 O(N)

计算斐波那契递归的时间复杂度？

int fibonacci(int N) {
	return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

假设 N 是 5 我们来展开求

如图：每次计算都会计算下一层，但是每次都是一边少，一边多。所以就可以直接按照每边一样来计算。如下图：

所以就有公式可以计算出每次计算的次数，就是：2 ^ (n - 1) ，所以计算的结果就是：2^\0 + 2^1 + 2^2 + 2^3……2^(n-1) = 2^n+1 所以按照大 O 渐进法来算，结果就是：2^n 。

所以斐波那契数列的时间复杂度就是：2^n 。

空间复杂度

空间复杂度衡量的是一个算法在运行过程当中占用的额外存储空间的大小，因为没必要按照字节来算，而是算变量的个数。也是用大 O 渐进法表示。

计算冒泡排序的空间复杂度

public static void bubbleSort(int[] arr){
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
            if(arr[j] > arr[j+1]){
                int tmp = arr[j];
                arr[j] = arr[j+1];
                arr[j+1] = tmp;
            }
        }
    }
}

因为冒泡排序的变量并没有变化，使用的是额外空间是常数，所以空间复杂度是 O(1) 。

计算斐波那契数列的空间复杂度（非递归）

int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

因为这里的斐波那契数列开辟了 n 个额外空间，所以空间复杂度为 O(n) 。

计算阶乘递归Factorial的时间复杂度

int factorial(int N) {
	return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

因为是递归，每次递归都会开辟栈帧，每个栈帧占用常数个空间，所以空间复杂度就是 O(N) 。