CINTA作业六：拉格朗日定理

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第八章习题：1，3，4，5，7

1、

(1) 任取 $g_{1}$ , $g_{2}$ $\in$ G,则 $g_{1}$ H= $g_{2}$ H, 说明存在 $h_{1}$ ， $h_{2}$ $\in$ H,有 $g_{1}$ $h_{1}$ = $g_{2}$ $h_{2}$

上式两边左乘 $g_{1}^{-1}$ ，有 $h_{1}$ = $g_{1}^{-1}$ $g_{2}$ $h_{2}$

再右乘 $h_{2}^{-1}$ ，有 $h_{1}$ $h_{2}^{-1}$ = $g_{1}^{-1}$ $g_{2}$

所以 $g_{1}^{-1}$ $g_{2}$ $\in$ H

(2)有 $g_{1}^{-1}$ $g_{2}$ $\in$ H，存在h $\in$ H， $g_{1}^{-1}$ $g_{2}$ =h,两边左乘 $g_{1}$

得 $g_{2}$ = $g_{1}$ h，所以 $g_{1}$ H= $g_{2}$ H

3、如果群H是群G的子群，且[G:H] = 2,请证明gH = Hg。

当g $\in$ H，由吸收率得gH=Hg=H

当g不属于H，而 [G:H] = 2，所以gH=Hg=G-H

4、

因为群H是群G的真子群存在群F=G-H，F $\in$ G

所以2|H|=|G|

但是，群F可能不是一个群，是多个群，所以|H|<=|G|/2

5、

将G分为：阶为p的H1和阶为p的H2两个子群

因为p为素数，H1是循环群，所以H1的子群都是循环群

同理H2的子群都是子群

因为H1和H2的子群都是G的全部子群

所以G的任意真子群是循环群

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