第三章实验报告

7-3 最低通行费

1. 问题描述

   一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？

   注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

   输入格式：第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

   输出格式：至少需要的费用。

   输入样例：5 // 1 4 6 8 10 // 2 5 7 15 17 // 6 8 9 18 20 // 10 11 12 19 21 // 20 23 25 29 33

   输出样例：109 = 1+2+5+7+9+12+19+21+33

2. 算法描述

   主要思路：到终点的最小费用依赖于到其上方和左方最小费用，不断推至起点，因此采用动态规划使用n^2大小的备忘录记录左上各个方格的最小费用。

   int minfee[1000][1000] = {0};

   int MinFee(int n, int a[1000][1000]) {
   　　// 第一行第一列无需判断从上面来还是从左边来
　　   for (int i = 1; i <= n; i++) {
   　　　　minfee[i][1] = a[i][1] + minfee[i-1][1];
   　　}
   　　for (int j = 1; j <= n; j++) {
   　　　　minfee[1][j] = a[1][j] + minfee[1][j-1];
   　　}
   　　// 从第二行第二列开始需要在上和左中选择最小的
   　　for (int i = 2; i <= n; i++) {
   　　　　for (int j = 2; j <= n; j++) {
   　　　　　　if (minfee[i][j-1] < minfee[i-1][j])  　　minfee[i][j] = a[i][j] + minfee[i][j-1];    // 左边
   　　　　　　else minfee[i][j] = a[i][j] + minfee[i-1][j];    // 上边
   　　　　}
   　　}
   　　return minfee[n][n];    // 返回终点的最小值
   }

3. 时间复杂度分析

   填表时，使用二重循环，时间复杂度为O(n^2)。

4. 空间复杂度分析

   引入二维数组minfee，空间复杂度为O(n^2)。

5. 心得体会

   此次实验课，通过小组形式写代码，代码需要更多地上手写，在写的过程中发现具体问题，而不能只靠纸上分析，过多的讨论只会让思路越来越不清晰，代码也一行没打。

   这道题是动态规划中使用备忘录的典型例子：

   与分治法有点点类似，都是将一个规模较大的问题，分解为规模较小的子问题，但是动态规划的子问题并非相互独立，而是相互依赖重叠的，因此我们借用备忘录记录已解子问题，后续只需查表，避免了重复计算，提高效率，多用于求最优子结构，最优解问题，除此之外，我们还需注意填表的方式，如从上向下，自底向上，有可能只填上三角等等。