C/C++教程

CINTA四：群、子群

本文主要是介绍CINTA四：群、子群，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

请完成以下证明题：

 

3.证明命题6.6

（1）因为 a\inG，G是群，所以存在 a^{-1}\inG，有 aa^{-1}=e

ba=ca,两边右乘a^{-1}

 \Rightarrowb aa^{-1} =c aa^{-1} 

\Rightarrowbe=ce，因为be=b，ce=c，所以，b=e

（2） 因为 a\inG，G是群，所以存在 a^{-1}\inG，有 a^{-1}a=e

 ab=ac，两边左乘a^{-1}

a^{-1}ab=a^{-1}ac  \Rightarrow  eb=ec  \Rightarrow  b=c

由（1）（2）可知，命题6.6成立

4、证明命题6.7

（1）任意 m、n \in\mathbb{Z}，设 a1=g^{m}，b1=g^{n}

因为前提为任意 a，b\in 群G，所以g^{m}、g^{n}\inG  

 \Rightarrowg^{m}g^{n}\inG\Rightarrow g^{m+n} \inG

所以g^{m}g^{n}=g^{m+n}

(2) 任意 m、n \in\mathbb{Z}，(g^{m})^{n}等于n个g^{m}相乘，将a=g^{m}

因为a \inG ，所以 aa...a(n个a） \inG  ，b=aa...a(n个a）=g^{mn}

所以(g^{m})^{n}=g^{mn}

（3） (h^{-1}g^{-1})^{n}的逆元为(h^{-1}g^{-1})^{-n}

而 h^{-1}g^{-1}的逆元为 gh ，n个h^{-1}g^{-1}相乘，即(h^{-1}g^{-1})^{n}

 所以其逆元gh也n个相乘，即(gh)^{n}

所以 (gh)^{n}=(h^{-1}g^{-1})^{-n}

5、 把g从G中抽出，直至抽剩两个数，其中为g1，和g1的逆元

不存在g=e，所以g*g=e

   6、证明命题6.8

因为H是G的子群，H也是阿贝尔群，任意 a、b \in H

因为 b \in H，所以在H中存在b的逆元 b^{-1}，即b^{-1}\in H

又因为 a \in H、  b^{-1}\in H，所以 a b^{-1}\in H ( 封闭性） 

7.

（1）证明一：

将g_{0}g_{1}...g_{n} 看成一个整体 g，g的逆元由 g^{-1} 表示

即  (g_{0}g_{1}...g_{n})^{-1} =g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1},由命题6.3可知

所以g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}

 

（2）证明二：

假设 g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} 

即（g_{0}g_{1}...g_{n}）*（g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1}）是否等于单位元 e 

 （g_{0}g_{1}...g_{n}）*（g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} ) = ( g_{0}g_{1}...g_{n-1})*(g_{n}g_{n}^{-1})*(g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1})

                                                     =(g_{0}g_{1}...g_{n-1})*(g_{n-1}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1})

 以此类推，原式=e

所以假设成立， g_{0}g_{1}...g_{n} 的逆元为  g_{n}^{-1}...g_{1}^{-1}g_{0}^{-1} 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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