一个商人穿过一个N×N的正方形的网格,去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进,右下角出。每穿越中间1个小方格,都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时,都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用?
注意:不能对角穿越各个小方格(即,只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格)。
第一行是一个整数,表示正方形的宽度N (1≤N<100);
后面N行,每行N个不大于100的整数,为网格上每个小方格的费用。
至少需要的费用。
5 1 4 6 8 10 2 5 7 15 17 6 8 9 18 20 10 11 12 19 21 20 23 25 29 33
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采用动态规划算法,该题要知道(n,n)的解就要知道(n,n-1)的解和(n-1,n)的解,进行比较取小
for(int i=1;i<=n;i++) //A { p[i][1]=p[i-1][1]+price[i][1]; } for(int j=1;j<=n;j++) //B { p[1][j]=p[1][j-1]+price[1][j]; //A、B代码段是对一直往右走和一直往下走的初始化,防止动态规划时取min出错 } for(int i=2;i<=n;i++) { for(int j=2;j<=n;j++) { p[i][j]=min(p[i-1][j]+price[i][j],p[i][j-1]+price[i][j]);//动态规划求最小值 } }
b[i][j] = min(b[i-1][j]+a[i][j],b[i][j-1]+a[i][j])
由于需要知道这个点的左边和上边,表的维度即为n*n
每一个问题都需要左子问题和上子问题的解,填表范围也为n^2
根据其递归方程可知,填表顺序由上至下、由左往右。
空间复杂度为O(n^2)
时间复杂度也为O(n^2)
动态规划要从子问题和问题之间的关系进行入手。
一个问题可能由多个子问题通过不同的条件判断到达,从而写出递归方程式。
递归方程式写出问题基本上就得到了解决,只差细节上的实现。
其中重叠子问题的解决方法为 建立规划表
,从而减少运算、提高效率