3.2.1 定义

离散时间卡尔曼滤波中所有误差的时变特性可归为以下三种假设中的一种：系统误差、白噪声和高斯-马尔可夫过程。系统误差（systematic errors）被假设为常值，是完全时间相关的，虽然当得到关于这些量的更多信息时，其卡尔曼滤波估计的值也会发生变化。

白噪声序列（white noise sequence）是零均值不相关随机变量构成的离散时间序列。例如，白噪声序列wi满足

在卡尔曼滤波中，白噪声一般被假设为高斯分布。

高斯-马尔可夫过程（Gauss-Markov processes）是随时间变化的量，是其先前值和白噪声序列的线性函数。

当高斯-马尔可夫过程的特性已知时，可以在卡尔曼滤波中进行建模。与更新间隔相比，马尔可夫过程一般变换缓慢。在卡尔曼滤波中，通常假设其满足高斯分布。

卡尔曼滤波的基本假设：系统中模型化的误差为系统误差、白噪声或高斯-马尔可夫过程，也可以是他们的线性组合或积分。

例如：随机游走过程是白噪声的积分，一个常值加速度误差会导致速度误差随时间积累。

作为被估状态的误差源，一般假设是系统误差、马尔可夫过程或者他们的积分。

所有噪声源都假设为白噪声，需要注意的是马尔可夫过程含有白噪声的成分。

实际的导航系统误差并不完全满足这些分布，但是在许多情况下，可以近似为这几种误差分布形式，只要让模型化的误差充分包含其对应的实际误差即可。

卡尔曼滤波中待估计参数称作状态向量（state vector）,用x表示，卡尔曼滤波给出的估计值表示为xˆ。

对系统绝对特性的状态估计，如位置、速度和姿态等，称为全状态（total-state）滤波（也被称为直接卡尔曼滤波）。

对基于观测的系统误差值的估计，如INS位置误差、速度误差和姿态误差等，称为误差状态（error-state）滤波。

实际上，状态向量可以是包含全状态和误差状态的混合形式。

注意到在卡尔曼滤波中，只对那些可直接确定导航结果或与之相关的状态进行估计，往往是不够的。必须把影响系统状态或观测值的主要系统误差源，或马尔可夫过程也加入状态向量，以防止导航状态退化。这是由于：卡尔曼滤波中假设所有未被建模的误差源均为白噪声。这些额外增加的状态有时被称为“扩展状态”。

状态向量残差（state vector residual）δx是真实状态向量与其卡尔曼滤波估计之间的差值。故

在误差状态滤波中，状态向量残差代表状态被卡尔曼滤波估计修正后，系统中仍然存在误差。直接将状态残差符号取反，即可得到状态估计的误差。

误差协方差矩阵（error covariance matrix）P定义为状态估计与真值间偏差平方的期望值。即

P矩阵为对称矩阵，矩阵的对角线元素是各个状态估计的方差，而他们的平方根是不确定度，故

 P矩阵的非对角元素为协方差，给出了不同状态估计误差之间的相关性。可写为

当观测量中缺乏足够的信息来独立地估计状态时，不同状态估计误差间的相关性可能会变得非常强，就像是方程组求解时，未知数的个数大于方程的个数一样，这个问题称为可观测性。

在误差状态滤波中，所有状态估计常常初始化为零。在全状态滤波中，可以由用户来初始化状态。协方差矩阵的初始化，一般由卡尔曼滤波的设计者来给定，而且均需谨慎选择初值。

 时间更新得到的状态估计和协方差分别用，其观测更新后的量用

观测向量z，是用状态向量描述的系统特性的一系列测量值，可以是一组距离测量值，或者两个导航系统间位置和速度解算结果的差值。

 观测新息（measurement innovation）δz-是实际观测向量与观测更新之前、由状态估计计算得来的观测向量之间的差值：

 观测残差（measurement residual）δz+，表示实际观测量与观测更新之后、由状态向量计算得到的观测量估计值之间的差值：

观测新息和残差是由状态估计误差与观测量误差决定的，与状态估计值不相关。

标准的卡尔曼滤波假设观测量误差服从均值为零的高斯分布，与时间不相关，其标准方差为观测噪声协方差矩阵（measurement noise covariance matrix）R，即观测噪声平方的期望值：

 R的对角线是每个观测量的方差，非对角线项代表不同观测噪声之间的相关性。R矩阵也是对称的。大多数导航应用来说，观测向量中各成分之间相互独立，因此R是一个对角矩阵。