7-1 最大子段和

1.1 问题描述

1.2 算法描述

int Maxsum(int n, int a[])
{
　　int sum = 0,b=0;
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　if(b>0) b+=a[i];
　　　　else b=a[i];
　　　　if(b>sum) sum=b;
　　}
　　return sum;
}

1.3 问题求解

在对于上述分治算法的分析中我们注意到，若记b[j]=max(a[i]+a[i+1]+..+a[j]),其中1<=i<=j,并且1<=j<=n。则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:  b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式

故b[j]的动态规划递归式为:  b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n

1.1.2 给出填表法中表的维度，填表范围和填表顺序

表的维度：一维

填表范围：由递归方程 b[ j ] = max { b[ j-1] + a[ j ] , a[ j ] }，可得填表范围[1,n]

填表顺序：自底向上、从后往前

1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度分析：
因为该算法只循环了一次数组，并且数组长度为n，所以时间复杂度为O（n）。

空间复杂度分析：

因为是数组a[n]，因此空间复杂度为 O（n）。

1.3 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

为了更好的理解，可以用数组来记录当前最大子段和，但其实也可以直接用一个整型变量来记录就可以了，能更节省空间。

2.我对动态规划算法的理解和体会

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

    (1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

    (2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

  （3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。