随机变量笔记

随机变量：赋予实验结果a一个数，记为X（a）。如下两个列子加以说明：
（1） 在掷骰子的游戏中，可能的实验结果有六种，记为 f i f_{i} fi​。赋予每个实验结果一个量 f i = 10 ∗ i f_i=10*i fi​=10∗i，也即 f 1 f_1 f1​=10等等。
（2） 同样的实验中，我们赋予奇数为1，偶数为0。也就再次的到了一组随机变量。
具体的定义为：随机变量 X X X是对指定一个数 a a a， X （ a ） X（a） X（a）的过程。

分布函数和概率密度函数

在集合 S S S中，组成事件 { X ≤ x } \lbrace X\leq x \rbrace {X≤x}的元素随 x x x的取值不同而变化。事件 { X ≤ x } \lbrace X\leq x \rbrace {X≤x}的概率 P { X ≤ x } P\lbrace X\leq x \rbrace P{X≤x}是依赖 x x x的一个数。这个数表示为 F x ( x ) F_x(x) Fx​(x)并称它为变量 x x x的分布函数。
定义：随机变量 x x x的分布函数 F ( x ) = P { X ≤ x } F_(x) =P\lbrace X\leq x \rbrace F(​x)=P{X≤x}
是定义在 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞上的函数。
列1:在抛硬币的实验中，出现正面（h）的概率等于P，出现反面（t）的概率为q我们定义随机变量 X X X满足 X ( h ) = 1 X(h) = 1 X(h)=1 X ( t ) = 0 X(t)=0 X(t)=0
求该随机变量的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)，其中 x ϵ ( − ∞ ， + ∞ ) x\epsilon(-\infty，+\infty) xϵ(−∞，+∞)
若 x ≥ 1 x\geq1 x≥1，则 X ( h ) = 1 ≤ X(h)=1\leq X(h)=1≤ x x x, 分 布 函 数 F ( x ) 分布函数F(x) 分布函数F(x)的概率为1
其余两种情况分类讨论即可。

分布函数的性质

1. F ( + ∞ ) F(+\infty) F(+∞)=1
2. F ( + ∞ ) F(+\infty) F(+∞)=0
3. 它是 x x x的非降函数
4. 如果 F ( x 0 ) = 0 F(x_0)=0 F(x0​)=0,那么对于每个 x ≤ x\leq x≤ x 0 x_0 x0​， F ( x ) = 0 F(x)=0 F(x)=0
5. P { X > x } = 1 − F ( x ) P\{X>x\}=1-F(x) P{X>x}=1−F(x)
6. 函数 F ( x ) F(x) F(x)是右连续的
7. P ( x 1 < X ≤ P(x_1<X\leq P(x1​<X≤ x 2 ) = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) x_2)=F(x_2)-F(x_1) x2​)=F(x2​)−F(x1​)

概率密度函数

定义：一个随机变量 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)的导数称为该随机变量的概率密度函数，记为： f x ( x ) f_x(x) fx​(x)，也就是说 f x = d F x ( x ) d x f_x=\frac {dF_x(x)}{dx} fx​=dxdFx​(x)​
从分布函数 F x ( x ) F_x(x) Fx​(x)的单调非减性，概率密度函数满足： ∀ \forall ∀ x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in(-\infty,+\infty) x∈(−∞,+∞) f x = d F x ( x ) d x = lim ⁡ Δ x → ∞ F x ( x + Δ x ) − F x ( x ) Δ x ≥ 0 f_x=\frac {dF_x(x)}{dx}=\lim_{\Delta{x} \to \infty} \frac{F_x(x+\Delta{x})-F_x(x)}{\Delta{x}} \quad{\ge}0 fx​=dxdFx​(x)​=Δx→∞lim​ΔxFx​(x+Δx)−Fx​(x)​≥0