我们 的 古人 发现 和 提出了 根据 杨辉三角 开 任意次方 的 方法 。
这个 方法 能否 总结 为 公式 ?
比如, 用 杨辉三角 开 二次方 的 余项 可以 总结 为 公式, 可以 通过 公式 将 试给出的 平方根 剩余 的 值 代入 公式 进行 本次 迭代计算, 并 得到 本次 迭代 后 的 一次余项 系数 。
用 公式 可以 将 每次 的 迭代 对 各同类项 的 操作 归纳, 使得 每次 迭代 对 每一类 项 的 计算 次数 固定, 而 不是 随着 迭代 而 计算次数 递增 。
那么, 对于 开 任意次 方, 能否 总结出 公式, 计算 每次 迭代 时 的 各 余项 系数 ? 将 试给出的 方根 剩余 的 值 代入 公式 即可 得到 各 余项 的 系数 。 当然 , 对于 开 n 次 方, 大概 要 知道 n - 1 个 余项 系数, 所以, 对于 开 n 次方, 公式 是 多个, 不是 一个, 大概 是 n - 1 个, 每个 对应 一个 余项 系数 。
于是,
开平方 有 一套 公式, 包含 一个 公式, 对应 一次余项 系数,
开三次方 有 一套 公式, 包含 二个 公式, 对应 一次余项 、二次余项 系数,
开四次方 有 一套 公式, 包含 三个 公式, 对应 一次余项 、二次余项 、三次余项 系数,
……
开 n 次方 有 一套 公式, 包含 n - 1 个 公式, 对应 一次余项 、二次余项 、三次余项 …… n 次余项 系数 。
进一步, 能否 将 这些 公式 归纳为 一套(一个) 公式 ? 这套(这个) 公式 是 高度通用 的, 我们 将 这个 通用公式 称为 公式 - 0, 将 开平方 的 那一套 公式 称为 公式 - 2, 开三次方 的 那一套 公式 称为 公式 - 3, 开四次方 的 那一套 公式 称为 公式 - 4 …… 开 n 次方 的 那一套 公式 称为 公式 - n 。
只要 知道 开 n 次方 的 n , 代入 公式 - 0, 就知道 公式 - n 。
另外, 归纳 公式 - 0 的 方法 是不是 只有一种 ? 也就是, 是不是 只能用 一种 方式 来 归纳推导 出 公式 - 0, 还是 有 多种 方法 可以 归纳推导 出 公式 - 0 ?
这里 提出 两个 问题 :
1 能否 归纳 出 高度通用 的 公式 , 也就是 公式 - 0 ?
2 归纳 公式 - 0 的 方法 是不是 只有一种 ? 如果不是 , 有多少种 ? 能否 找出 所有 方法 ?
知道 开方 进行到 第 n 次 迭代 时 的 一次余项,
a ² + b ² + c ² + …… + n ² 可以 总结 为 平方和 公式, 那 a ³ + b ³ + c ² + …… + n ²