001. 整数除法

给定两个整数 a 和 b ，求它们的除法的商 a/b ，要求不得使用乘号 ‘*’、除号 ‘/’ 以及求余符号 ‘%’ 。

注意：

• 整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及truncate(-2.7335) = -2
• 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231−1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 231−1
• -231 <= a, b <= 231 - 1, b != 0

解：

该题如果要实现不用乘法和除法实现整数除法，那就只能用减法去做，用被除数减除数的方式。当然，让a循环减b的方法，时间复杂度会比较大。那么，我们可以让a减b的倍数，这样能大大减少计算量。

22 - 3 * 8 < 0 
22 - 3 * 7 > 0

如同上面的例子，此时就知道结果是7。但如果还是循环这个倍数，那就和循环减b没什么区别了。

此时我们可以用位运算的方法：当一个数左移一位时，表示这个数乘以2；当一个数右移一位时，表示这个数除以2。那么，我们就可以每次让a - (b的左移后的数)，并判断大小。

这种方法和前一种方法类似，所以用位运算的方法就避免了到临界点的n次，而是循环固定的31次（移位运算在int中有效的次数只有31次），时间复杂度由O(n)变成了O(1)。

这里，我们设置被减数和减数分别为a和b，当次的倍数为k。 

b = (3 << 3) = 3 * 2^3 = 24, 此时k = 2^3
a - b = 22 - (3 << 3)  = -2 < 0, 无法减去。

b = (3 << 2) = 3 * 2^2 = 12, 此时k = 2^2 = 4
a - b = 22 - (3 << 2)  = 10, 可以减去。 更新： a = 10, i  = i + k = 4。 

b = (3 << 1) = 3 * 2^1 = 6, 此时k = 2^1 = 2
a - b = 10 - (3 << 1)  = 4, 可以减去。 更新： a = 4, i  = i + k = 6。 

b = (3 << 0) = 3 * 2^0 = 3, 此时k = 2^0 = 1
a - b = 4 - (3 << 1)  = 1, 可以减去。 更新： a = 1, i  = i + k = 7。 

a < b, 结束。 i = 7，符合结果。

这里需要注意，倍数从上往下会比从下往上要更快，因为从下往上每次都需要从头开始上，而从上往下时，每次减完的a一定会更小，所以只需要一路向下算即可。

// 时间复杂度：O(1)
public int divide(int a, int b) {
	//这里解决-2147483648 / -1 的特例
    if (a == Integer.MIN_VALUE && b == -1)
        return Integer.MAX_VALUE;
    int sign = (a > 0) ^ (b > 0) ? -1 : 1;
    a = Math.abs(a);
    b = Math.abs(b);
    int res = 0;
    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        // 首先，这里为了避免b左移越界，所以使用a右移的方式，a/2和b*2在这里等效
        // 右移的话，再怎么着也不会越界
        // 其次，无符号右移的目的是：将 -2147483648 看成 2147483648

        // 注意，这里不能是 (a >>> i) >= b 而应该是 (a >>> i) - b >= 0
        // 这个也是为了避免 b = -2147483648，如果 b = -2147483648
        // 那么 (a >>> i) >= b 永远为 true，但是 (a >>> i) - b >= 0 为 false
        if ((a >>> i) - b >= 0) { // a >= (b << i)
            a -= (b << i);
            res += (1 << i);
        }
    }
    // bug 修复：因为不能使用乘号，所以将乘号换成三目运算符
    return sign == 1 ? res : -res;
}