朝鲜时蔬 的一些力所能及的证明

题意

\(~~~~\) 包含 \(1\sim n\) 的所有元素的集合，有多少个 \(m\) 阶子集，这个 \(m\) 阶子集的和能被最多该集合的 \(k\) 阶子集和整除。

\(~~~~\) \(1\leq k\leq m\leq n\leq 10^{12},1\leq m\leq 4\)

题解

\(m=1,k=1\)

\(~~~~\) 任选集合一定成立，故答案为 \(n\) .

\(m=2,k=1\)

答案

\(~~~~\) 设答案的 \(m\) 阶子集为 \(\{a,b\}(a<b)\) ，则必定有 \(a|(a+b) \Rightarrow a|b\) ，因此枚举 \(a\) ，得到：

\(~~~~\) 整除分块即可。

证明

\(~~~~\) 证明不可能存在 \(a|(a+b)\) 且 \(b|(a+b)\) ：

\(~~~~\) 你看样例解释里面不存在这种情况

• 若 \(a \not|~b\) ，则显然不成立；
• 否则，设 \(b=ka,k\in \mathcal{Z^*}\) ，则应满足 \(a|k+1 \land ka|k+1\) ，两式结合有 \(k|1\)，即 \(k=1\)，不满足 \(a<b\) 的限制。

\(m=2,k=2\)

答案

\(~~~~\) 显然选择所有集合均可，答案为 \(\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}\) .

\(m=3,k=1\)

答案

\(~~~~\)\(m=3,k=1\) 的最优集合为 \(\{k,2k,3k\}\) ，故答案为 \(\lfloor \dfrac{n}{3} \rfloor\).

证明

\(~~~~\) 证明其最优集合的形式：

\(~~~~\) 设 \(\{ak,bk,ck\}(a<b<c)\) 为最优集合形式 ，由已知的形式：

\(~~~~\) 稍微化一下：

\(~~~~\) 设：\(ck=a+b \Rightarrow c=\dfrac{a+b}{k} (k \in \mathcal{Z^*})\) ，由 \(a<b<c\) 可知 \(k=1\)

\(~~~~\) 故：

\(~~~~\) 设：\(pa=2b \Rightarrow a=\dfrac{2b}{p} (p \in \mathcal{Z^*})\) ，则代入: \(b|\dfrac{4b}{p}\) ，\(p=1,2,4\) ，此时分别有 \(a=2b,a=b,a=\dfrac{1}{2}b\) ，结合 \(a<b<c\) 的条件，则只有 \(a=\dfrac{1}{2}b\) 满足条件。再代入 \(c=a+b\)，此时有 \(a:b:c=1:2:3\) .

\(m=3,k=2\)

答案

\(~~~~\) 设：最优集合为 \(\{a,b,c\}(a<b<c)\) ，则最优集合只有 \((a+b)|(a+b+c) \Rightarrow (a+b)|c\) ，枚举 \(a+b\) ，同时再算上拆分方案即可：

\(~~~~\) 整除分块即可。

\(m=3,k=3\)

答案

\(~~~~\) 任选集合一定成立，答案为 \(\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix}\) .

\(m=4,k=1\)