蓄水池采样算法

“给出一个数据流，这个数据流的长度很大或者未知。并且对该数据流中数据只能访问一次。请写出一个随机选择算法，使得数据流中所有数据被选中的概率相等。”

算法过程
假设数据序列的规模为 n，需要采样的数量的为 k。
首先构建一个可容纳k 个元素的数组，将序列的前 k 个元素放入数组中。
然后从第 k+1 个元素开始，以 k/n 的概率来决定该元素最后是否被留在数组中（每进来来一个新的元素，数组中的每个旧元素被替换的概率是相同的）。 当遍历完所有元素之后，数组中剩下的元素即为所需采取的样本。

for i in range(K,N): # K + 1 个元素开始进行概率采样
    r = random.randint(i + 1)
    if (r < K):// 这里其实就是k/n的体现
         result[r] = pool[i];

拒绝采样

已知rand7()，求产生rand10()
基本思路大家都知道的，就是call rand7()两次然后进行拒绝采样，因此大部分人第一下想到的算法如下：

row, col = 0, 0 
idx = 0
while idx > 40:
    row = rand7();
    col = rand7();
    idx = col + (row-1)*7;//选择第row行第col列的数字，每行7个数字
return 1 + (idx-1)%10;

没有必要idx为41~49之间的时候下一次重新调用两次rand7()

row, col = 0, 0 
idx = 0
while True:
    row = rand7();
    col = rand7();
    idx = col + (row-1)*7;//选择第row行第col列的数字，每行7个数字
	if idx <= 40:
		return 1 + (idx-1)%10;
	row = idx - 40
    col = rand7()
    idx = col + (row-1)*7;
    if idx <= 60
      return 1 + (idx-1)%10;
    row = idx - 60
    col = rand7()
    idx = col + (row-1)*7;
    if idx <= 20
      return 1 + (idx-1)%10;

推广一下，如果需要randN[1…N]生成randM[1…M]怎么做

def randM(n, m) {
   res, count = 0, 1
   tmp = n - 1
   while (tmp < m):
     tmp = tmp * n + n - 1 #首先判断出m可以由几位的n进制数组成
     count++;
   times = (tmp / m) * m
    
   while (res >= times):
     res = count > 1 ? (res % m) : 0
     offset = res? 1 : 0
     for i in range(count - offset):
         res = res * n + randN() - 1;
   return 1 + res % m;

Fisher-Yates洗牌算法

使用Fisher-Yates Shuffle算法，Fisher-Yates洗牌算法是用来打乱一个随机序列的算法，

主要步骤为：
在0到n（索引）之间生成一个数m，
交换m和n（索引对应的数），
n（索引）减掉1，
循环这三步，直到n等于0。
主要思想就是每次采样（索引）时，当前随机采样到的数（索引对应的数）交换到最后一个数（末尾索引对应的数），然后采样池数量减一（末尾索引减一），然后继续采样和交换（不断迭代），直到采样池为空。

382. 链表随机节点
(蓄水池抽样 随机 Random 细致注释~）
题目：给定一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。保证每个节点被选的概率一样。
思路： 蓄水池抽样的套路，关键是理解：
if random.randint(1,count) == count: res = cur.val

count = 0 
cur  = self.head # cur为当前节点
while cur:
    count += 1
    # 等概率取样，每个样本被取到的概率都是1/count
    # 例如，count为1时，概率为1，即res的初值。count为2时，有1/2的几率选中2，如选中，2即为res，替换之前的res，以此类推。
    if random.randint(1,count) == count:
        res = cur.val
    cur = cur.next
return res

398. 随机数索引
题目：给定一个可能含有重复元素的整数数组，要求随机输出给定的数字的索引。 您可以假设给定的数字一定存在于数组中。
思路：因为数组可能含有重复元素，为了等概率选取这个给定的数字，必须全部遍历一次。
首先，遍历数组，获得所有target的下标。
然后，随机输出，获取对应数字的index。

478. 在圆内随机生成点
题目：给定圆的半径和圆心的 x、y 坐标，写一个在圆中产生均匀随机点的函数 randPoint 。
思路1：本题的标签是“拒绝采样”，意在考察拒绝采样的方法，例如，从正方形中随机取点，然后拒绝圆外的点。
思路2：随机取得半径(radius * sqrt(random.random()))和弧度(2 * math.pi * random.random())的值，再计算出点的坐标。

470. 用 Rand7() 实现 Rand10()
     题目：已有方法 rand7 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。

思路：
方法1：直接使用random多快啊…不过，这是违规的…
方法1.1 return random.randint(1, 10) # 执行用时: 256 ms/ 内存消耗: 17.2 MB
方法1.2 return random.choice(rand7() * 7 + [8, 9, 10]) # 执行用时: 300 ms/ 内存消耗: 17.2 MB

方法2：小学奥数~~ 执行用时: 368 ms/内存消耗: 17.3 MB
使用7个符号等概率映射出十个数字，需要抛开1-7就是7个数字的想法~
取两次，m取1-5，直接作为数值1-5。n取1-6，按照奇偶性决定为m加0还是加5

方法3：套路（7进制）
方法3.1 两位 执行用时: 432 ms/ 内存消耗: 17.3 MB
使用7个数字表达出更多个数字，构造两位7进制，(rand7() - 1) * 7 + rand7() - 1，可以取得0-48之间的数字。
如得到0-39之间的数字，使用（num % 10 + 1）等概率映射出1-10.
如得到40-48之间的数字，重新选择…直到选择到0-39之间的数字。
方法3.2 三位 执行用时: 392 ms/ 内存消耗: 17.2 MB
使用7个数字表达出更多个数字，构造三位7进制，(rand7() - 1) * 49 +(rand7() - 1) * 7 + rand7() - 1，可以取得0-342之间的数字。
如得到0-339之间的数字，使用（num % 10 + 1）等概率映射出1-10.
如得到340-342之间的数字，重新选择…直到选择到0-339之间的数字。
使用两位7进制数字，需在48个数字中拒绝9个，即9/48的拒绝比例。使用三位7进制数字，仅需在342个数字中拒绝3个，即3/342(1/114)的拒绝比例，每次取数需调用rand7()三次并计算，结果显示测试时间为392 ms，优于使用两位7进制。

官网还有进一步的优化算法，思路都是最大化的利用得到的数字，尽量减少调用rand7()以及计算的次数。

528. 按权重随机选择
（随机 Random 二分查找 细致注释~）
题目： 给定一个正整数数组 w ，其中 w[i] 代表下标 i 的权重（下标从 0 开始），请写一个函数 pickIndex ，它可以随机地获取下标 i，选取下标 i 的概率与 w[i] 成正比。
思路：把概率分布函数转化为累计概率分布函数。然后通过随机数，进行二分查找。
比如，输入是[1,2,3,4]，那么概率分布是[1/10, 2/10, 3/10, 4/10, 5/10]，累积概率分布是[1/10, 3/10, 6/10, 10/10].总和是10。如果我们产生一个随机数，在1~10之中，然后判断这个数字在哪个区间中就能得到对应的索引。
对于输入[1,2,3,4]，计算出来的preSum是[1,3,6,10]，然后随机选一个s，然后查找s属于哪个区间

497. 非重叠矩形中的随机点
题目： 给定一个非重叠轴对齐矩形的列表 rects，写一个函数 pick 随机均匀地选取矩形覆盖的空间中的整数点。

710. 黑名单中的随机数
题目： 给定一个包含 [0，n) 中不重复整数的黑名单 blacklist ，写一个函数从 [0, n) 中返回一个不在 blacklist 中的随机整数。
思路： 共有N个数字，其中黑名单上有len(blacklist)个数字, 白名单上有N-len(blacklist)个数字. 为了可以使用random.randint(0, self.white_len - 1)随机取得white_len个白名单数字中的一个，使用映射关系处理前white_len个位置中不属于白名单中的数字.

519. 随机翻转矩阵
(随机 Random 一次v.s.多次/拒绝抽样 细致注释~)
题目：题中给出一个 n_rows 行 n_cols 列的二维矩阵，且所有值被初始化为 0。要求编写一个 flip 函数，均匀随机的将矩阵中的 0 变为 1，并返回该值的位置下标 [row_id,col_id]；同样编写一个 reset 函数，将所有的值都重新置为 0。尽量最少调用随机函数 Math.random()，并且优化时间和空间复杂度。

思路1：拒绝采样/多次抽样 执行用时: 60 ms(99%)/ 内存消耗: 15.4 MB(30%)
随机选取数字作为一维数组的索引位置，使用集合记录翻转过的元素位置，如新选择的位置已经处理过，继续选数。

思路2：一次采样 执行用时: 60ms(99%)/ 内存消耗: 15.5 MB(15%)
方法同710。
比较下来，虽然方法2仅抽样一次，但为了实现仅需抽一次，增加了各种操作，时空复杂度和方法1差不多。

def flip(self):
	self.matrix_index -= 1 # 每次抽样后，样本总数减一
    # 随机选取数字作为一维数组的索引位置
    target = random.randint(0, self.matrix_index)
    # 如字target不在词典pair中，直接使用target(target_redirect=target)计算
   # 如target在词典pair中，使用其在pair中映射的值(target_redirect=pair[target])计算
   target_redirect = self.pair.get(target, target)
   # 返回结果前，把 target 映射到当前数组最后一个位置的"值/映射到的值（如有)"
   # 下一轮开始时matrix_index-1，样本数减一，没有机会选到matrix_index,。如再次抽到本轮中选中的数字target，就使用其映射在matrix_index的值
   self.pair[target] = self.pair.get(self.matrix_index, self.matrix_index)
   # 使用target_redirect计算出二维数组的坐标
   return [target_redirect // self.n_cols,  target_redirect % self.n_cols]

def reset(self):
    # 还原至init状态
    self.pair.clear()
    self.matrix_index = self.n_rows * self.n_cols

参考：https://blog.csdn.net/weixin_54955821/article/details/117715798