主定理—递归式求解

主定理:设a>=1,b>1和d>=0,设f(n)为一函数,T(n)由递归式

   ， 那么

1>.如果，

2>.如果，

3>.如果，

分治法经典范例

1>二分搜索

该问题的常见形式是在一个有序数组中寻找某个元素。假设数组array[ ]存储升序序列，变量left表示查找范围的左边界，right表示查找范围的有边界，mid表示查找范围的中间位置，target为要查找的元素。用分治法实现过程如下：
   1>初始化。令left=0,即指向array[ ]的第一个元素；right=array.length-1,即指向有序列表array[ ]的最后一个元素。
   2>mid=（left+right）/ 2，即指向查找范围的中间元素。(low+high)为奇数的话，除以2并不能得到整数，此处向下取整，比如：4.5向下取整为4。
   3>判定 left<=right是否成立，如果成立，转第4步，否则，说明该列表中没有指定元素，算法结束。
   4>判断target 与 array[mid] 的关系。如果 target==array[mid] ，搜索成功，算法结束；如果 target >array[mid] ，令 left=middle+1，继续在数组的后半部分进行搜索;如果 target <array[mid] ，令 right=middle-1,继续在数组的前半部分进行搜索，即转向第2步。

2>大整数乘法

 由上图可以看出用分治法来实现大整数相乘的思路：
   1>首先将要相乘的两个数X和Y分成A，B，C，D四部分。
   2>此时将X和Y的乘积转化为图中的式子，把问题转化为求解式子的值。
   3>递归处理，直至算出最后的结果。

大整数乘法详解
3>Strassen矩阵乘法

使用分治法，将一个矩阵转换为子矩阵相乘的方式。矩阵乘法耗费时间要比矩阵加法耗费的时间多，想要改进矩阵乘法的计算时间复杂性，必须减少乘法运算。Strassen矩阵乘法用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。

4>棋盘覆盖

 在解决该问题时，需要将原始的棋盘划分成四个元素个数相同的棋盘，再根据特殊元素是否在划分后的区域进行不同的处理；然后递归地执行这个过程，直到最后划分的区域为包含四个元素单位。不难看出，这里面也体现了分–治的思想。

5>合并排序

即归并排序，是典型的一种分治思想的运用，其过程如下：
   1>分：将待排序元素划分成大小大致相同的两个子序列，直到每个子序列只有1个元素。
   2>治：对两个子序列进行合并排序。
   3>合：将排好序的有序子序列进行合并,得到最终的有序序列。

最坏时间复杂度：O(nlogn)
最好时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度：O(nlogn)
稳定性：稳定

6>快速排序

归并排序是将待排列元素打散再重新聚合，快速排序是将待排列元素持续分堆，两者排序的过程中都是体现着不断拆分为子问题的痕迹，所以其实快速排序也是用分治思想来实现的。
  快速排序的步骤如下：
   1>先从数列中取出一个数作为基准数。
   2>分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
   3>再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

最坏时间复杂度：O(n^2) 
最好时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度： O(nlogn)
稳定性：不稳定

7>线性时间选择

此算法常使用的场景是：找出待排序序列中， 第k大或第k小元素(1<k<n)。
  此算法使用步骤如下：
   1>分组并取各组中位数 （将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与该组的首元素交换，目的是使所有组的中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数 。
   2>查找中位数的中位数。
   3>进行划分过程，即每轮排序后中位数对应的下标，在整个序列中的相对位置。
   4>判断第k个数在划分结果的左边、右边还是恰好是划分结果本身，前两者递归处理，后者直接返回答案。

8>最接近点对问题

 该问题指的是：在一个平面上，有着许多的散点，如果找出欧式距离最近的两个点。从问题表面可以看出，该问题可以用暴力法求解，即求出所有点之间的距离，再统一进行比较，选出距离最近的点对。但这样做，难免时间复杂度较高，所以就需要用别的解法来计算，常用的是分治法：即按X坐标或Y坐标将元素区分成两部分，然后不断划分，直到每个子区间中只有一个元素，求出左右区间中最小点对之间的距离，这样就求出了两个区间最小值。接下来要求出最复杂的第三个最小值：两个点在不同的子区间，如何在不同区间寻找这两个点就成了最近点对问题的难点。
  具体步骤如下：
   1>选择所有点的某一坐标(X坐标或Y坐标，此处以X轴为例)，求出平均值，划分中轴线，将数据按某一坐标轴分为左右两个部分。
   2>求出左半边和右半边的最小距离，选取较小值d，此步骤可以用递归实现。
   3>根据上一步求出的d，求出最小点对在不同区间时的最小距离。
   4>比较这三个最小距离。
分治法求解平面最近点对问题

9>循环赛日程表

该问题描述为：设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一各满足一下要求的比赛日程表：
   1>每个选手必须与其他n-1个选手各比赛一次。
   2>每个选手一天只能赛一次。
   3>循环赛一共进行n-1天。
  按照上面的要求，可以将比赛表设计成一个n行n列的二维表，其中第 i 行第 j+1 列的元素表示和第 i 个选手在第 j 天比赛的选手号。
  在具体进行代码实现时，可以先填满array的第一行，然后按照左上角数字与右下角数字相同的关系、左下角数字与右上角数字相同的关系，逐渐填满整张表就行。之所以说此问题中体现了分治思想，是因为可以不断对n进行n/2划分，直到划分为2人时，赛程就可确定，然后再逐渐合并出整个赛程安排。