主定理：

**

1、二分查找

**
问题描述：
在一有序数组T[ l…r ]中查找x，如果x在T中，输出x在T中的下标j，否则输出-1
基本思想
1、如果l > r，则查找结束，x不在数组中，返回-1，否则将x与中间元素T[mid]比较，如果相等，则返回mid
2、如果x比T[mid]小,则到T[ l…mid-1]进行查找
3、否则到T[mid+1…r ]查找
实现

int BinarySearch(int a[], int x, int n)
{
	int l = 0, r = n - 1;
	while(l <= r)
	{
		int mid = (l + r) / 2;
		if(x == a[mid]) return mid;
		if(x > a[mid]) l = mid + 1;
		if(x < a[mid]) r = mid - 1;
	}
	return -1;
}

2、大整数乘法

问题描述
设X和Y都是n位整数，现在要计算他们的乘积XY
基本思想
将每个大整数串分成等分成两个长度近似的字串，例如A分成A1和A2，Y分成B1和B2
则A * B = （A1 * 10^(n/2) + A2）(B1 *10^(m/2) + B2)
化简得 A1B1 * 10^n + (A1B2 + A2B1)*10^(n/2) + A2B2
XY = A1B1 * 10^n + ((A1-A2)(B2-B1) + A1B1 + A2B2) * 10^(n/2) + A2B2
时间复杂度
T（n） = 3T(n / 2) + O(n)
通过主定理可算出T（n） = O（n^1.59）

3、Strassen矩阵乘法

题目描述
设A、B是两个n*n的矩阵，计算它们的乘积AB
基本思想
使用分治法，将一个矩阵转换为子矩阵相乘的方式。矩阵乘法耗费时间要比矩阵加法耗费的时间多，想要改进矩阵乘法的计算时间复杂性，必须减少乘法运算。Strassen矩阵乘法用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。时间复杂度优化到O（n^2.81）

4、棋盘覆盖

问题描述
在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，则称方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。现在要用四种方向不同的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格。
基本思想
用分治策略，当k>0时，将棋盘分割为4个子棋盘。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的相同覆盖问题。时间复杂度T(k)=4T(k-1)+O(1)

5、快速排序

基本思想
快速排序使用分治的思想，通过一趟排序将待排序列分割成两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小。之后分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序的目的。
具体步骤
(1)选择基准：在待排序列中，按照某种方式挑出一个元素，作为 “基准”（pivot）
(2)分割操作：以该基准在序列中的实际位置，把序列分成两个子序列。此时，在基准左边的元素都比该基准小，在基准右边的元素都比基准大
(3)递归处理：递归地对两个序列进行快速排序，直到序列为空或者只有一个元素。
选择基准的方式：
（1）固定位置
取序列的第一个元素或中间元素作为基准
（2）随机化选择（随机化快排）
随机取一个元素作为基准
让随机出来的下标对应数字作为pivot，减小了一般快排出现最坏情况的可能性。
复杂度分析
最坏时间复杂度： O(n^2)
最好时间复杂度： O(nlogn)
平均时间复杂度： O(nlogn)

void quicksort(int q[], int l, int r)
{
	if(l >= r) return;
	int x = q[(l + r) / 2];
	int i = l - 1, j = r + 1;
	while(i < j)
	{
		do i++; while(q[i] < x);
		do j--; while(q[j] > x);
		if(i < j)  swap(q[i],q[j]);	
	}
	quicksort(q, l, j);
	quicksort(q, j+1, r);
}

随机化

void quicksort(int q[], int l, int r)
{
	if(l >= r) return;
	int i = l - 1, j = r + 1;
	int tt = rand() % (r - l + 1) + l;
	int x = q[tt];
	swap(q[l],q[tt]);
	while(i < j)
	{
		do i++; while(q[i] < x);
		do j--; while(q[j] > x);
		if(i < j)  swap(q[i],q[j]);	
	}
	quicksort(q, l, j);
	quicksort(q, j+1, r);
}

6、合并排序

基本思想
将序列大致分成两个大小大致相等的子序列，直到序列只有一个元素，然后再将排好序的子序列合并成为一个排好序的序列。复杂度O（NlogN）
代码实现

void MergeSort(int a[], int l, int r)
{
	if(l >= r) return;
	int mid = (l + r) / 2;
	MergeSort(q, l, mid);
	MergeSort(q, mid+1, r);
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;
	while(i <= mid && j <= r)
	{
		if(a[i]<a[j]) tmp[k++] = a[i++];
		else tmp[k++] = a[j++];
	}
	while(i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
	while(j <= r)   tmp[k++] = a[j++];  
	for(i=l , j =0; i <= r ;i++, j++ )
	    a[i] =  tmp[j];
	
}

7、求第k小数（线性时间）

基本思想
1、将n个元素划分成 ⌈ n / 5 ⌉ \lceil n/5 \rceil ⌈n/5⌉组，每组5个元素，至多只有一组包含n mod 5个元素
2、通过每组排序，找出每组的中位数构成序列M
3、取序列M的中位数x(若序列有偶数，取两个中位数中较大者)
4、用x作为基准元素，对原n个元素进行划分，i为分裂点
5、若k<=j，则用前部分子问题递归求第k小元素；
若k>j，则用后部分子问题求第k-i小元素
j为前部分子问题元素的个数。

8、平面最接近点对问题

基本思想
1、将点集分成大致相等的两个部分A和B
2、递归分别求解A和B种的最近点对d1和d2
3、再求出一点在A中、另一点在B中的最近点对d12
4、原问题的解d = min{d1,d2,d12}
AB连接部分产生最近点对情况：只会发生在 ( mid - d , mid + d ) 内，这个范围，mid左边p1，mid右边p2，p1中每个点最多在p2中存在6个点会更新答案，即按照y坐标排序后，p1每点最多只要检查p2中排好序的相继6个点。

9、循环赛日程表

题目描述
设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次
（2）每个选手一天只能赛一次
（3）循环赛一共进行n-1天
基本思想
按照分治思想，将所有的参赛选手分成两半，n个选手的日程表就可以通过n/2个选手设计的比赛日程表来确定。递归进行分割，直到剩下两个选手即可。