2021年新版-编程基础训练32题-附提示和答案

1. 用级数法求圆周率

题目

圆周率十分重要，不仅仅是在数学理论上，即便在千年前的古代，工程上的需求，也迫切需要我们知道圆周率的尽量精确的数值。
求圆周率，有很多种方法，级数法就是简便易行的方法之一。
很多大牛已经把级数公式写好，并证明清楚，我们只要按公式求值就好了。
暂举几例：

π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + . . . \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... 6π2​=121​+221​+321​+...
π 4 = 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + . . . \frac{\pi}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+... 4π​=11​−31​+51​−71​+...
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − . . . \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} -\frac{4}{4\times5\times6}+\frac{4}{6\times7\times8}-... π=3+2×3×44​−4×5×64​+6×7×84​−...

请编程求 π \pi π 的值。

分析与提示

对每个公式单独写一个程序有点浪费代码，能不能做一个类似级数框架的东东，把这个方法的共性表达出来呢？
这些算法，无外乎是： 初始值 + 若干的小项，求和，最后再处理一下，得出 π \pi π 的值。

示例解法

import math

a1 = 0
def b1(n):
    return 1/(n*n)
def c1(x):
    return math.sqrt(x*6)

a2 = 0
def b2(n):
    return (-1)**(n+1)/(2*n-1)
def c2(x):
    return 4*x

a3 = 3
def b3(n):
    return (-1)**(n+1)*4/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2))
def c3(x):
    return x

# a: 初始值
# b: 通项公式（函数）
# c: 后处理（函数）
# n: 累加项数
def f(a,b,c,n):
    z = a
    for i in range(n):
        z += b(i+1)
    return c(z)

####
print(f(a1,b1,c1,10000))
print(f(a2,b2,c2,10000))
print(f(a3,b3,c3,100))

2. 割圆法求圆周率

题目

我国古代数学家，发明了用割圆法求 π \pi π 值，其原理类似于近代的微积分。
具体做法：用圆内接正多边形的周长来近似地代替圆周。
多边形的边数越多，这种代替就越精确。
我们从正六边形开始，不断把边数加倍，很快就能获得高精度的 π \pi π 值
本题目的目标是，通过这种方法，把圆周率精确到小数点后6位。

分析与提示

计算的关键是，从当前的多边形如何计算加倍后的多边形的边长。
其实，只需要勾股定理就能搞定！
其原理如图：

h = 1 − ( a 2 ) 2 h = \sqrt{1-\left(\frac{a}{2}\right)^2} h=1−(2a​)2 ​
a ′ = ( a 2 ) 2 + ( 1 − h ) 2 a' = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (1-h)^2} a′=(2a​)2+(1−h)2 ​

示例代码

import math

#n: 当前的边数
#a: 当前的边长
def f(n,a):
    h = math.sqrt(1-(a/2)**2)
    a1 = math.sqrt((a/2)**2 + (1-h)**2)
    return (n*2, a1)

######
a = 1
n = 6
for i in range(10):
    n, a = f(n, a)

print(n*a/2)
print(math.pi)

3. 面积概率法求圆周率

题目

如下图，边长为 1 的正方形内含有 1/4 个圆，显然，圆的半径为 1。

如果在正方形内随机产生点，落入圆内的概率 = 1/4 圆面积
请用程序产生大量的随机点，通过统计落入圆内的数目，估算 1/4 圆的面积
据此，推算出 π \pi π 值。

分析与提示

概率法很难获得高精度，而且每次运行结果都不一样。
但，概率法很重要，对于一些复杂的问题，如果没有办法做理论分析（比如复杂函数的积分），概率解有时也是很有用的。
判断一个点是否在圆内，只要看它到圆心的距离是否小于 1

示例代码

import random

# 随机产生散点
# 判断是否落在 1/4 圆内
def f():
    x, y = random.random(), random.random()
    return x * x + y * y < 1

# n 次随机试验，求 pi 值
def pai(n):
    m = 0  # 落在圆内的次数
    for i in range(n):
        if f():
            m += 1

    return m / n * 4


#############
print(pai(1000 * 1000))

其它的题目懒得贴了，自己下载吧：
《2021年新版-编程基础训练32题-附提示和答案》
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