算法第二章实践报告

一、实践题目名称

二分法求函数的零点

二、问题描述

有函数：f(x)=x5−15x4+85x3−225x2+274x−121 已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。 提示：判断函数是否为0，使用表达式 fabs(f(x)) < 1e-7

三、算法描述

由题目知在区间[1.5, 2.4] 函数是单调递减的，有且只有一个根，start = 1.5，end = 2.4把这个区间一分为二，取中间值为mid，（用1e-7来表示0）判断mid的函数值f(mid) > 0或f(mid) < 0，又或f(mid) = 0。若f(mid) > 0，则区间变为[mid, end]；若f(mid) < 0，则区间变为[start, mid]。不断重复以上操作，不断二分，直到f(mid) = 0，或end - start < 0就不再重复，结束循环，保留小数点后6位输出mid

这个过程运用了分治法的思想，先将问题分解，再判断

四、算法时间及空间复杂度分析

问题分解：分解，取中间值的时间复杂度为O(1)

问题的治：原问题一半规模T(n) = T(n / 2) + O(1)

即最终的时间复杂度为 T(n) = O(log n)

空间复杂度：整个算法过程中只需要start、end、mid三个额外储存的变量，所以空间复杂度为O(1)

五、心得体会

这个例子实践后，我明白了二分法即是将问题一分为二，取符合的区间再一分为二，不断逼近要找的值，二分法最后不需要合并这一步骤。同时我对分治法的思想进一步的理解了，分治法就是将问题分解为更小规模的子问题，然后再解决子问题，最后再合并子问题答案，这样使得问题得以简化解决

六、分治法的个人体会和思考

对于分治法，我的理解是分与治与合这三个步骤

• 分解：将规模较大的原问题分解成若干个规模较小的相互独立的与原问题形式相同的子问题
• 解决：子问题容易解决则直接解决，不容易则递归解决
• 合并：将所有子问题的解合并为原问题的解

分治法的时间复杂度：T(n) = aT(n / b) + f(n) ；将问题分解为a个规模为n / b 的子问题，最后合并子问题解花费f(n)的时间

运用分治法的思想的算法有二分法、归并排序法等等