有一个正整数 \(n\) ，试判断 \(n\) 是不是质数。

经典模板了属于是
主要有质数筛、枚举因子、Miller Rabin 算法三种做法

1. 质数筛

分为埃氏筛和欧拉筛（线性筛）两种

埃氏筛应该是判断质数的最基础方法了
从 \(2\) 开始从小到大依次枚举整数
如果没被筛过就说明是质数，同时应将其所有倍数（除本身外）筛去

    v[1]=1; // 值为 1 表示非质数，0 表示是质数
    for (int i=2; i<=n; ++i) if (!v[i])
        for (int j=(i<<1); j<=n; j+=i) v[j]=1;

时间复杂度 \(O(n\log \log n)\)

欧拉筛同样是筛倍数，但用了一些技巧将时间复杂度降至了 \(O(n)\)

    v[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {
        if (!v[i]) p[++cnt]=i;
        for (int j=1; j<=cnt&&p[j]*i<=n; ++j) {
            v[p[j]*i]=1;
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }

关键在于每个数恰好被其最小质因子筛一次
看懂这个结论之后 正确性和时间复杂度就都很显然了

2. 枚举因子

质数的定义：只有两个正因数（\(1\) 和本身）的自然数是质数。
所以只需判断 \(2\sim n-1\) 中有没有 \(n\) 的因子
\(x\) 的因子是成对出现的，每一对因子中较小者必然不超过 \(\sqrt n\) ，因此从 \(2\) 枚举到 \(\sqrt n\) 即可

int isp(int x) { //判断质数，是则返回 1 ，否则返回 0
    if (x==1) return 0; // 1 既不是质数也不是合数
    for (int i=2; i*i<=x; ++i)
        if (x%i==0) return 0;
    return 1;
}

时间复杂度为 \(O(\sqrt n)\)

细想一下发现仅枚举质因子即可保证正确性
所以有一种优化思路是尽量避免枚举合数

考虑如下结论：
大于 \(3\) 的质数必然和 \(6\) 的倍数相邻。

设 \(k\) 为正整数，则 \(6k-2,6k,6k+2,6k+3\) 显然都为合数
因此只需枚举形如 \(6k\pm 1(k\in\mathbb N^*)\) 的数即可

int isp(int x) {
    if (x<5) return (x==2||x==3); // 注意 2,3 需要特判
    if (x%6!=1&&x%6!=5) return 0;
    for (int i=5; i*i<=x; i+=6)
        if (x%i==0||x%(i+2)==0) return 0;
    return 1;
}

时间复杂度依然为 \(O(\sqrt n)\) ，但实际运行要比优化前快几倍，而且代码也不长，日常做题推荐使用

3. Miller-Rabin 素性检测

这篇文章讲得非常详细了：link

时间复杂度 \(O(k\log n)\) ，其中 \(k\) 为测试次数

OI 中可以选择固定的几个常数做测试，在保证准确的前提下：
\(2^{32}\) 以内选择 \(2,7,61\) 三个数即可
\(10^{16}\) 以内选择 \(2,3,7,13,61,24251\) 六个数即可
数据范围更大时还是建议换成随机数，具体实现可参考上面提到的文章

4. 总结

\(O(n)-O(1)\) 表示预处理 \(O(n)\) ，回答单次询问 \(O(1)\) （埃氏筛时间复杂度同理）

如果数据范围较小，用暴力随便搞搞就行了
如果询问次数很多且 \(n\) 不是很大，应使用筛法（推荐线性筛）
Miller-Rabin 代码量大，写起来比较耗时，尽量少用
考场上很少会出现必须用 Miller-Rabin 的情况，所以这个算法不用练得太熟 差不多得了