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数据结构与算法——多路查找树

本文主要是介绍数据结构与算法——多路查找树,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

目录
  • 二叉树存在的问题
  • 多叉树
  • B 树的基本介绍
  • 2-3 树
    • 2-3 树构建图解
    • 2-3 树添加规则总结
  • 2-3-4 树
  • B 树、B+ 树、B*树
    • B 树
    • B + 树
    • B* 树

tip:这里对多路查找树是简单介绍和讲解,因为这部分属于深入学习了

二叉树存在的问题

二叉树的操作效率较高,但是也存在问题,如下图所示

当二叉树的节点较少时,不会出现什么问题。但是当节点过多时(海量,如 1 亿),就会出现如下的问题:

  1. 构建二叉树时,需要进行多次 I/O 操作

    节点较多时,一般会存储在文件或则数据库中,进行多次 I/O 获取到所有的节点,速度有影响

  2. 会造成二叉树的高度很大,降低操作速度

多叉树

为了解决层数过多的问题,就出现了 多叉树

在二叉树中,每个节点只有一个数据项,最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点,就是 多叉树(multiway tree)

多叉树也有一定的规则的,比如后面讲解的 2-3 树、2-3-4 树,就是多叉树。

多叉树通过重新组织节点,减少树的高度,对二叉树进行优化。

下图则是一颗 2-3 的多叉树:

2-3 的原因:如上图按节点数量来定义的。有的只有 2 个子节点,有的有 3 个子节点。

B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点,降低树的高度,并且减少 I/O 读写次数来提升效率。

上图说明:

  • 一个圆圈表示一个数据项
  • 相连的数据项,整个表示一个节点

那么它的优点如何理解呢?

  • 降低树的高度:

    可以看到,一个节点中有很多数据项,就能大大减少节点数量,从而降低树的高度

  • 减少 I/O 读写次数

    文件系统及数据库系统的设计者利用了 磁盘预读原理将一个节点的大小设为等于一个页(通常大小为 4K),这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入。

    这样说,你可能没有概念,举个例子:将树的度 M 设置为 1024 ,在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素。

    B 树(B+ )广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。

    什么是

    • 节点的度:一个节点下的子树节点个数就是 节点的度。
    • 树的度:指一颗树中,节点的度最大的哪一个值。

B 树其实就是前面所说的 多叉树

2-3 树

2-3 树是最简单的 B 树结构,具有如下特点:

  1. 所有 叶子节点 都在同一层

    只要是 B 树都满足这个条件,就是满树。

  2. 有两个子节点的节点叫 二节点

    二节点要么 没有子节点,要么 必须有两个子节点

  3. 有三个子节点的节点叫 三节点

    三节点要么 没有子节点,要么 必须有三个子节点

  4. 2-3 树是由 二节点三节点 构成的树

2-3 树构建图解

对数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成一个 2-3 树,那么它构建的规则要满足前面说的特点。下面进行图解后,你就明白,上面的特点是如何限制的。

有几个额外的注意事项:

  1. 一个节点中,最多只允许放 2 个数据
  2. 构建的树必须是有序的,也就是按照二叉排序(BST)的要求构建有序的树

下面是图解步骤:

  1. 添加 16、24

    添加 16 时,没有数据,直接新建一个节点,放进去。

    添加 24 时,发现有一个节点了,并且比 16 大,此时该节点中只有一个数据,则将 24 放在 16 的右边。

  2. 添加 12

    此时会发现,12 比 16 小,本来应该放在 16 的左边,此时发现这个节点 已经有两个数据了,那么就只能放在 左子节点

    如果直接将 12 放到 16,24 的左节点,就会破坏 2-3 树的条件:2 节点,要么没有子节点,要么有两个

    那么此时就只能将 16,24 这个节点进行拆分。如上图:24 变成 16 的右节点,12 变成 16 的左节点。这时就满足了 2-3 的特性。

  3. 添加 32

    这个就简单了,以现在的树结构,可以直接添加到 24 的 右边,变成 24,32

  4. 添加 14

    这个也简单,直接添加到 12 的右边,变成 12,14

  5. 添加 26

    此时应该添加到 24,32 的中间,由于一个节点只能添加两个数据,那么就需要拆分。

    为了满足 B 树特点,发现上层的 16 只有一个数,那么就补足它。组成 16,26

    因为此时 24,32 这个节点,不满足 BST 的排序了,24 是小于 26 的。只有 32 满足。

    拆完上层,再拆本层:由于 24 介于 16,26 之间,则将它安排在 3 节点中的中间节点24,32 把 24 拆分出去了,只剩下 32,此时完全满足 B 树的特点。

  6. 添加 34

    此时就简单了,添加到 32,34

  7. 添加 10

    此时应该添加到 12,14 的左侧。但是不满足条件:一个节点最多只能装 2 个数据。

    放到 12,14 的左节点,也不满足条件:所有叶子节点必须在同一层,并且也不满足 2-3 节点的数量要求。

    那么此时就需要拆分,先看他的上层 16,26 是满的,如何做呢?看下图:

    左侧的拆分图,上面我们分析过了,不满足 B 树要求。那么就需要拆分成右图这样:

    1. 12,14 中的 14 拆分成 右子节点,10 挂在 左节点。
    2. 此时不满足 B 树要求的,则将 16,26 中的 26 拆分成 右子节点。
    3. 24 这个节点由于上层被拆分了,不满足在中间节点了。调整它的位置
    4. 原来的 32,34 节点调整为 16 的右节点。
  8. 添加 8

    此时很简单,组成 8,10 即可

  9. 添加 28

    这里笔者有点小小的疑问,此时 28 不是应该加在 26,28 吗?难道说这里还有一个规则:

    • 只有一个数据的节点,下面只允许 最多有 2 个节点,要么没有
    • 有 2 个数据的节点,下面只允许 最多有 3 个节点,要么没有
  10. 添加 38

此时就简单,直接组成 34,38

  1. 添加 20

    这个也简单,直接组成 20,24

2-3 树添加规则总结

满足如下特点:

  1. 所有 叶子节点 都在同一层

    只要是 B 树都满足这个条件,就是满树。

  2. 有两个子节点的节点叫 二节点

    二节点要么 没有子节点,要么 必须有两个子节点

  3. 有三个子节点的节点叫 三节点

    三节点要么 没有子节点,要么 必须有三个子节点

  4. 2-3 树是由 二节点三节点 构成的树

  5. 构建的树,要满足二叉排序树(BST) 的顺序

  6. 一个节点中,最多只允许放 2 个数据

  7. 只有一个数据的节点,下面只允许 最多有 2 个节点,要么没有

  8. 有 2 个数据的节点,下面只允许 最多有 3 个节点,要么没有

2-3-4 树

除了 2-3 树,还有 2-3-4 树,他的特点是在 2-3 树的基础上,还多了一个 4 节点,同样,一个节点最多可以装 3 个数据,要么有 4 个节点,要么没有。

B 树B+ 树B*树

B 树

B-tree 树即 B 树,B 是 Balanced 平衡的意思。

tip

B- 树,这个也是 B 树,只是翻译的文本容易产生误解。

上图就是一个 B 树,说明如下:

  • B 树的阶:节点的最多 子节点 个数

    如:2-3 树的阶是 3,2-3-4 树的阶是 4

  • B 树的搜索

    根节点开始,对节点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的 儿子节点

    然后重复,直到所对应的儿子节点指针为空,或则已经是叶子节点。

  • 关键字集合分布在整棵树中

    即:叶子节点和非叶子节点都存放数据

  • 搜索有可能在非叶子节点结束

  • 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

B + 树

在 MySQL 中,有些索引就是用 B 树或则 B+ 树实现的。B+ 树是 B 树的变体,也是一种多路搜索树。

B + 树说明:

  1. B+ 树的搜索与 B 树基本相同,区别是 B+ 树只有到达叶子节点才命中(B 树可以在非叶子节点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

  2. 所有 关键字都出现在叶子节点的链表中

    即:数据只能在叶子节点,也叫 稠密索引,且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。

  3. 不可能在非叶子节点命中

  4. 非叶子节点相当于是叶子节点的索引,也叫 稀疏索引,叶子节点相当于是存储(关键字)数据的数据层

  5. 更适合文件索引系统

  6. B 树和 B+ 树有各自的应用场景,不能说 B+ 树完全比 B 树好。

B+ 树的这种设计,应该是类似分段思想,比如:5,28,65,下面存放三个节点:

  • 5-28 的段,为一个节点
  • 28-65 的段,为一个节点
  • 65 以上的段,为一个节点

比如查询 30 ,直接找到在第二个节点中,然后往下一个目录索引找,就很快能定位到数据。

B*

B* 树是 B+ 树的变体,在 B+ 树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针

说明:

  • B* 树定义了 非叶子节点 关键字个数至少为 (2/3)*M ,即块的最低使用率为 2/3,而 B+ 树的块的最低使用率为 B+ 树的 1/2

    M 是指树的度,也就是层。

  • 从第 1 个特点,可以看出 B* 树分配新节点的概率比 B+ 树要低,空间使用率更高。

这篇关于数据结构与算法——多路查找树的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!