博文地址
我的GitHub | 我的博客 | 我的微信 | 我的邮箱 |
---|---|---|---|
baiqiantao | baiqiantao | bqt20094 | baiqiantao@sina.com |
编程语言提供的字符串查找
函数,底层依赖的就是字符串匹配算法
,比如 Java 中的 indexOf()
,Python 中的 find()
等。
单模式串匹配算法
:一个串跟一个串进行匹配,BF
、RK
、BM
、KMP
多模式串匹配算法
:在一个串中同时查找多个串,Trie 树
、AC 自动机
主串和模式串:在字符串 A 中查找字符串 B,那字符串 A 就是主串
,字符串 B 就是模式串
。
BF 算法中的 BF 是 Brute Force
的缩写,中文叫作暴力匹配
算法,也叫朴素匹配
算法。
假设主串的长度为 n,模式串的长度为 m,因为是在主串中查找模式串,所以 n > m
。
作为最简单、最暴力的字符串匹配算法,BF 算法的思想用一句话来概括就是:在主串中,检查起始位置分别是 0、1、2....n-m 且长度为 m 的 n - m + 1
个子串,看有没有跟模式串匹配的。
在极端情况下,每次都比对 m 个字符,要比对 n - m + 1
次,所以,这种算法的最坏情况时间复杂度是 O(n * m)
。
尽管理论上的时间复杂度很高,但在实际的开发中,BF 算法却是一个比较常用的字符串匹配算法:
n * m
的值并不会很大KISS
(Keep it Simple and Stupid)设计原则。所以,在实际的软件开发中,绝大部分情况下,朴素的字符串匹配算法就够用了。
RK 算法的全称叫 Rabin-Karp
算法,是由它的两位发明者 Rabin 和 Karp 的名字来命名的。
RK 算法其实就是上面 BF 算法的升级版。
RK 算法的思路是这样的:
主串
中的 n-m+1
个子串分别求哈希值,然后逐个与模式串
的哈希值比较大小不过,通过哈希算法计算子串的哈希值的时候,我们需要遍历
子串中的每个字符。尽管模式串与子串比较的效率提高了,但是,算法整体的效率并没有提高
。有没有方法可以提高哈希算法计算子串哈希值的效率呢?
这就需要哈希算法设计的非常有技巧了。我们假设要匹配的字符串的字符集中只包含 K 个字符,我们可以用一个 K 进制数
来表示一个子串,将这个 K 进制数转化成十进制数,作为子串的哈希值。
比如假设要处理的字符串只包含 a~z 这 26 个小写字母,那就用二十六进制来表示一个字符串。我们把 a~z 这 26 个字符映射到 0~25 这 26 个数字,a 就表示 0,b 就表示 1,以此类推,z 表示 25。
在十进制的表示法中,一个数字的值是通过下面的方式计算出来的。对应到二十六进制,一个包含 a 到 z 这 26 个字符的字符串,计算哈希的时候,我们只需要把进位从 10 改成 26 即可。
这种哈希算法有一个特点,在主串中,相邻两个子串的哈希值的计算公式有一定关系。
假设 i 表示子串在主串中的起始位置,子串的长度为 m
规律:相邻两个子串 s[i-1]
和 s[i]
,对应的哈希值计算公式有交集,也就是说,我们可以使用 s[i-1]
的哈希值很快的计算出 s[i]
的哈希值。
注意:下图中最后一行少了一个左括号
只要当子串的长度 m 很大的时候才有意义
另外,26^(m-1)
这部分的计算,我们可以通过查表的方法来提高效率。我们事先计算好 260、261、262……26(m-1),并且存储在一个长度为 m 的数组中,公式中的次方
就对应数组的下标。当我们需要计算 26 的 x 次方的时候,就可以从数组的下标为 x 的位置取值,直接使用,省去了计算的时间。
整个 RK 算法包含两部分:
计算子串哈希值
:根据上面的分析,只需要扫描一遍主串
就能计算出所有子串的哈希值了,所以时间复杂度是 O(n)
比较
:每次比较的时间复杂度是 O(1)
,总需比较 n - m + 1
次,所以时间复杂度是 O(n)
所以,RK 算法整体的时间复杂度就是 O(n)
。
这里还有一个问题:如果模式串很长,相应的主串中的子串也会很长,通过上面的哈希算法计算得到的哈希值就可能很大,如果超过了计算机中整型数据可以表示的范围,那该如何解决呢?
上面设计的哈希算法是没有散列冲突的
,也就是说,一个字符串与一个二十六进制数一一对应,不同的字符串的哈希值肯定不一样的。
而为了能将哈希值落在整型数据范围内,就必须允许哈希冲突(鸽巢原理
)。这个时候哈希算法该如何设计呢?
哈希算法的设计方法有很多
相加
(而不是进制),最后得到的和
作为哈希值。这样哈希值的数据范围就相对要小很多了。不过,这种哈希算法的哈希冲突概率也是挺高的。素数
,而不是 1,2,3……这样的自然数,这样冲突的概率就会降低一些。那现在新的问题来了,当存在哈希冲突的时候,有可能存在这样的情况,子串和模式串的哈希值虽然是相同的,但是两者本身并不匹配。
解决方法很简单。当我们发现一个子串的哈希值跟模式串的哈希值相等的时候,我们只需要再对比一下子串和模式串本身
就好了。当然,如果子串的哈希值与模式串的哈希值不相等,那对应的子串和模式串肯定也是不匹配的,就不需要比对子串和模式串本身了。
哈希算法的冲突概率要相对控制得低一些,如果存在大量冲突,就会导致 RK 算法的时间复杂度退化,极端情况下,时间复杂度就会退化成 O(n*m
)。
RK 算法是借助哈希算法
对 BF 算法进行改造,即对每个子串分别求哈希值,然后拿子串的哈希值与模式串的哈希值比较,减少了比较的时间。
理想情况下,RK 算法的时间复杂度是 O(n)
,跟 BF 算法相比,效率提高了很多。不过这样的效率取决于哈希算法的设计方法,如果存在冲突的情况下,时间复杂度可能会退化。极端情况下,哈希算法大量冲突,时间复杂度就退化为 O(n*m)
。