周总结

主要是把动态规划的PDF二刷了一遍，巩固基础；各大厂的机试里面考动态规划还是挺多的，掌握好非常重要。

周末学了回溯算法的组合类问题。下周一计划看完回溯；周二~周四学DFS和BFS；周五看贪心；周末总结整理。

背包问题总结

0-1背包

给出n个不同物品，每个物品有重量weight和价格value；给出一个背包，每个背包有最大容量W。每件物品只有一件。

一般有如下题型：

1. 判断能否将背包刚好装满 or 装满容量为j的背包有几种方法 -- 组合问题

   • 例题：分割等和子集（正好装满sum/2）、目标和（正好装满（sum+S）/2）

   • dp[j] += dp[j - nums[i]]

   • 难点在于如何将题目的条件套用背包问题的框架。

2. 求解在背包容量的限制下，可以装下的最大价值

   • dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i] + value[i]])
     

   • 0-1背包的初始化时要注意递推公式中的max后者min，相应的初始化为最小值和最大值。

   • 0-1背包的遍历顺序（滚动数组）：先遍历物品，后遍历背包（反过来就会导致每件物品在背包中只放入了一件物品）；遍历背包时从后向前遍历（否则每件物品会重复放入）

完全背包

给出N件物品，每件物品有重量weight和价格value；给出一个背包，每个背包有最大容量W。每件物品有无限多件，可以重复放入。

一般有如下题型：

1. 纯完全背包问题，求最大价值

   纯完全背包，遍历顺序皆可，但是遍历背包要从前向后，保证每件物品多次放入。

2. 求装满背包的有几种方法

   • 求组合数量：先遍历物品，后遍历背包（为防止同样的组合重复出现）；遍历背包时从前向后（保证物品多次放入）

     从前向后遍历背包时，因不能保证背包容量j大于物品重量weight[i]，要加判断：j-weight[i] > 0

   • 求排列数量：先遍历背包，后遍历物品（这样重复组合都算进去了）；遍历背包也是从前向后（保证物品多次放入）

多重背包

给出N件物品，每件物品有重量weight，价格value，数量nums；给出一个背包，每个背包有最大容量W。每件物品有在数量限制内，可以重复放入。

解题方法就是把不同的数量都展开，变成0-1背包。具体到代码就是在两重for循环内加一层遍历数量的循环。

打家劫舍问题总结

基础打家劫舍

考虑第i房间（dp[i-2]+nums[i]） and 不考虑第i房间（dp[i-1]）

打家劫舍：环形房屋

数组成环考虑3种情况：

1. 不考虑头尾元素
2. 考虑头不考虑尾
3. 考虑尾不考虑头

3、2包含1，故而只考虑2种情况。将两种不同的首尾参数传入基础打家劫舍逻辑即可。

打家劫舍：树形dp

后序遍历

买卖股票问题总结

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最大现金；dp[i][1]表示第i天不持有股票所得最大现金。

只能买卖一次

第i天持有股票：

• 第i-1天就持有了：dp[i-1][0]
• 第i天刚好买进来：-prices[i]

第i天不持有股票：

• 第i-1天就不持有：dp[i-1][1]
• 前面一直持有，到第i天卖了：dp[i-1][0] + prices[i]

最大值出现在dp[-1][1]的时候

可买卖多次

第i天持有股票：

• 第i-1天就持有了：dp[i-1][0]
• 第i天刚好买进来：dp[i-1][1]-prices[i]

第i天不持有股票：

• 第i-1天就不持有：dp[i-1][1]
• 前面一直持有，到第i天卖了：dp[i-1][0] + prices[i]

最大值出现在dp[-1][1]的时候

限制最多完成两笔交易

分类讨论五种情况：对应dp[i][0-4]

1. 没有操作
2. 第一次买入
3. 第一次卖出
4. 第二次买入
5. 第二次卖出

dp[i][1-4] 两个来源：当天发生操作，沿用前一天状态

题目改成最多完成k笔交易，找规律即可

冷冻期

还没搞明白，人傻了

含手续费

没区别，在每次买入or卖出的时候减掉一笔钱就行