向量

1.向量概念

单位向量 i ， j ， k i，j，k i，j，k
x ， y ， k x，y，k x，y，k分别对单位向量 i ， j ， k i，j，k i，j，k进行伸缩

2.向量和点的区别

区别：向量离开坐标系可以表示，点离开坐标系无法表示
联系：选取（0,0,0）/（0,0）作为坐标系原点时，向量与点均可用一点的坐标表示

3.向量的种类

(1)零向量
( 0 ) \left(\begin{array}{l} 0 \end{array} \right) (0​)、 ( 0 0 ) \left(\begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \right) (00​)、 ( 0 0 0 ) \left(\begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right) ⎝⎛​000​⎠⎞​ ⋯ \cdots ⋯

(2)实向量

( 1 0.5 2 ) \left(\begin{array}{l} 1\\ 0.5\\ \sqrt{2} \end{array} \right) ⎝⎛​10.52 ​​⎠⎞​

(3)复向量

( 1 + 2 i 2 + 3 i ) \left(\begin{array}{l} 1+2i\\ 2+3i\\ \end{array} \right) (1+2i2+3i​)

(4)变向量(向量函数)

( x y ) \left(\begin{array}{l} x\\ y \end{array} \right) (xy​)

复向量
复数 x + y i x+yi x+yi 可以通过变量拓展得到 复向量
复数 x + y i x+yi x+yi 拓展为复向量有两种方式：
1.扩元
x = x 1 + x 2 j x=x_1+x_2j x=x1​+x2​j
y = y 1 + y 2 j y=y_1+y_2j y=y1​+y2​j
将上述两式代入 x + y i x+yi x+yi中得
x + y i = ( x 1 + x 2 j ) + ( y 1 + y 2 j ) i = x 1 + y 1 i + x 2 j + y 2 j i x+yi=(x_1+x_2j)+(y_1+y_2j)i = x_1+y_1i+x_2j+y_2ji x+yi=(x1​+x2​j)+(y1​+y2​j)i=x1​+y1​i+x2​j+y2​ji
其中令 j i = k ji=k ji=k，则
x + y i = x 1 + y 1 i + x 2 j + y 2 k x+yi=x_1+y_1i+x_2j+y_2k x+yi=x1​+y1​i+x2​j+y2​k（四元数）

2.扩维
如果将 x ， y x，y x，y 看做一维向量，那么复数 x + y i x+yi x+yi 可扩展为二维复向量

即： x = ( x 1 x 2 ) x=\left(\begin{array}{l} x_1\\ x_2 \end{array} \right) x=(x1​x2​​)， y = ( y 1 y 2 ) y=\left(\begin{array}{l} y_1\\ y_2 \end{array} \right) y=(y1​y2​​)，则

x + y i = ( x 1 x 2 ) + ( y 1 y 2 ) i = ( x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i ) x+yi=\left(\begin{array}{l} x_1\\ x_2 \end{array} \right)+\left(\begin{array}{l} y_1\\ y_2 \end{array} \right)i=\left(\begin{array}{l} x_1+y_1i\\ x_2+y_2i \end{array} \right) x+yi=(x1​x2​​)+(y1​y2​​)i=(x1​+y1​ix2​+y2​i​)

4.向量的应用

向量在RGB Color Space中的应用
一个坐标代表一种颜色

向量在多项式中的应用

5.向量的基本运算

5.1向量内积

向量内积的应用

双向量夹角（余弦）

5.2向量叉积

向量叉积的几何表示


其中 a b s i n θ absin \theta absinθ 为平行四边形面积，乘在 n 0 n_0 n0​ 前面代表倍数
叉积得到的向量的模=平行四边形面积，方向与平面法向量 n 0 n_0 n0​ 同向

向量叉积的坐标表示

向量叉积的行列式表示

叉积 = 三个向量张成的平行六面体的体积
i , j , k i,j,k i,j,k为三维坐标系三个的单位向量

叉积的应用

5.3向量张量积

张量积的线性组合形式

如果张量积中 i , j , k i,j,k i,j,k 的运算规则不同，其结果会有所不同