一。浮点数二分模版整理

1。步骤
1⃣️确定精度 且循环条件就是 r-l>该精度的时候
2⃣️算出中间值 mid 恒为double Mid=(l+r)/2
3⃣️满足条件则缩小右边界(比如条件是r大于中间值的时候，最后返回左边界即可
4⃣️编写判断条件满足函数

2。代码

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

二。高精度加法

⚠️注意在高精度处理的输入输出时候，要先以字符串的形式读入数据，然后再逐位存入到整形数组中，注意，要减去-‘0’才能变为整型数据。

1。步骤：
1⃣️判断是否是第一个参数长第二个参数短，若不是则返回调转后的函数
2⃣️设置一个存储加了后的同类型变量C以及设置一个进位变量t
3⃣️开始循环从个位开始相加，注意循环的限制长度为位数更长的那个 大整数。此外先把进位t加了然后t就用来存储加了后的值，因此t取模后的数是要放进C的，然后再除以10就是算出进入下一个的进位是多少了

2。代码

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];//勿忘！！！
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);//这一步的操作可以和高精度乘法那样和循环进行合并，因为是一个意思，都是用来处理最后一个进位的
    return C;
}

三。高精度减法

⚠️注意在高精度处理的输入输出时候，要先以字符串的形式读入数据，然后再逐位存入到整形数组中，注意，要减去-‘0’才能变为整型数据

1。步骤
1⃣️注意由于模版里面都是要保证第一个参数的位数比较长的，一次这个判断要么可以像第二点那样在模版里面判断，要么就在主函数调用高精度减法的时候判断
2⃣️设置存储相减后的同类型的变量C以及设置一个进位变量t
3⃣️开始进行循环，注意也是从个位相加，然后循环的长度是以位数更多的那个为主。另外，先减去t，然后t变量就是用来存储每一位数减完后的结果，然后由于t有可能是正是负，当为正的时候就直接去摸然后存入到C变量中，但是如果是负的话就是要加10再去取模，然后借位为1，因此可以总结为：C.push_back((t+10)%10);if(t<0) t=1; else t=0;

2。代码

在这里插入代码// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

四。高精度乘法

⚠️注意在高精度处理的输入输出时候，要先以字符串的形式读入数据，然后再逐位存入到整形数组中，注意，要减去-‘0’才能变为整型数据

1。步骤

1⃣️注意由于模版里面都是要保证第一个参数的位数比较长的，一次这个判断要么可以像第二点那样在模版里面判断，要么就在主函数调用高精度乘法的时候
2⃣️设置一个同类型的变量存储乘法后的结果C，以及进位结果t
3⃣️然后开始继续循环，注意这个循环的次数要以较长的位数为主，另外要考虑到当最后一位有进位的时候还是要进行循环，因此可以像本代码一样写一个或，当然要也可以像第二，三点那样，最后再进行判断t是否有进位。另外t是作为存储每一次乘法之后的结果，因此t取余之后就Push进去，/10就是下一个进位
4⃣️区间导零

2。代码

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

五。高精度除以低精度

⚠️注意由于前面的几个模版的都是从地位到高位计算，但由于除法的话，从高位开始除比较好，因此，for循环开始是从最后一位开始即最高位开始，那么存储的结果C到时输出的时候也要记得先reverse一下，因为前几个模版在C 中存的都是低位往高位的结果，所以才要reverse

1。步骤

1⃣️还是一样，要么在函数里面判断长度，要么就是在调用函数中
2⃣️设置存储结果的变量C 和每一位除了之后的结果r
3⃣️开始进行for循环，注意for循环的起止是多少；另外注意余数r,在进入下一位的计算的时候，r的结果=r*10+A[i];然后r除以10则变为商结果，取模被除数则是下一个的余数
4⃣️去前导零

2。代码

//A/B=C...r,A>=0,b>0
vector<int> div(vector<int>&A,int b,int &r)
{
  vector<int> C;
  r=0;
  for(int i=A.size()-1;i>=0;i- -)
  {
    r=r*10+A[i];
    C.push_back(r/b);
    r%=b;
  }
  reverse(C.begin(),C.end());
  while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
  
  return C；
}

六。前缀和

1。一维前缀和

主要是要注意更新插入的问题，要详细的去看模版题ACWING 795
要看听课笔记

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

2。二维前缀和

主要是要注意更新插入的问题，要详细的去看模版题ACWING 796

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

七。差分数组

1。一维差分

注意是要注意更新插入问题，要详细去看听课笔记，以及ACWING797

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

2。二维差分

主要是要注意更新 插入问题，要详细去看笔记还有题目798

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

八。位运算

⚠️详细去看听课笔记

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

九。双指针算法

⚠️详细去看听课笔记

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

十。离散化

1。步骤
1⃣️存储所有待离散化的值alls
2⃣️将所有值进行排序
3⃣️去掉alls里面重复的元素，此时alls数组里面就是存的全部数据，就不用开个大数组，然后下表表示数据了，因此下一步就是如何找到x对应的离散化后在alls的位置
4⃣️利用二分求出x对应的离散化后在alls的位置

2。代码

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

十一。区间合并

将所有存在的交集的区间合并

1。步骤
1⃣️设置vector变量存储区间对
2⃣️将区间对按照左端区间从小到大排序，然后设置左右无穷大边界
3⃣️遍历每一种区间，然后根据听课笔记的说法进行更新，找到合并区间

2。代码

// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});//这一步是将每一种合并的区间加进去结果那里显示
    segs = res;
}