前言

终于感觉我对这一章的理解比较深刻，并且也写出了像样的代码实现供大家参考，感觉自己可以写这篇文章，大家久等了。

线性回归

什么是线性回归？

线性回归常用于连续值的预测任务，最经典的例子就是：假设工资水平仅仅和工作时长有关，那么我们要找到一条直线，虽然这个直线不能穿过所有的样本点，但是能在误差尽量小的情况下给出一个预测，如下图所示：

而得到这个直线之后，我们就可以输入工作年限，然后通过计算得出一个大概的工资，虽然跟实际拿到的工资并不一定一致，但是也能给出一个大致的估计。

线性模型

很容易看出， 回归线是一条直线，直线的公式我们也都牢记于心：

 或者我们可以这样写：

 这样的话，在本次例子中，根据图像，x 即工作年数，y 即工资水平。

目标就是：找到一条直线  ，尽可能准确的根据工作年数，预测工资水平。

分析

那么现在对这个公式进行分析，在此之前，我先提问一个问题：在上述的公式中，什么是已知的，什么是未知的？

计算这个线性回归模型的时候，是要针对已知样本的（输入，输出），通过计算得到目标直线，（输入，输出）即（工作年数，工资水平），目标直线的（斜率，截距）却不知道，要通过计算得到。所以，（x， y）是已知的，（a， b）是未知的。这个地方大家必须清楚。

现在我们弄明白了谁是已知，谁是未知，就该去确定怎么计算这两个未知数。

目标是找到一条尽可能准确的直线，尽可能准确就是对于所有的样本，误差要尽可能的小。

假设，对于给定的数据，最理想，最好的直线是  ，根据之前的思想：先初始化一条随机的直线，然后根据误差，慢慢修正参数，最终得到一条近似完美的参数作为最终参数。

随机一条初始的直线： ，对于这个随机直线，输入一个工作年限，会得到一个不一样的工资水平h，这个工资水平h和真实的y是不一样的，有误差的.

那么， 单一的样本的误差就是：。

当计算所有的样本的误差的时候，我们可以把各个样本的误差加起来，但这时候，正负的loss就会抵消，所以要消除其中的负号，消除负号有两种方法：

1. 绝对值。

2. 平方。

但是为了求导方便，这里选择方法2，取平方，即：（假设共 n 个样本）

这个里面的 a 和 b 是 h 中的 a 和 b。

再回顾一下我们的目标：找到一条尽可能准确的直线。也就是说，总和误差要达到最小，也就是说Loss(a, b) 要达到最小值。

此时问题转化为了二元函数求极值的问题，也就是说：找到Loss(a, b)的最小值。根据二元函数求极值的方法，我们需要分别对 a 和 b 求偏导数（此时 x 和 y 视为常数），求导结果如下：

 ，

求导之后，此时有两种方法：

1.最小二乘法

最小二乘法在求导后，另上面两个偏导数为0，联立解得 a 和 b 的值，然后直接计算就得到了这条直线，就是解方程的过程，这里就带过了。

2. 梯度下降法（推理过程仅帮助大家理解，未找专业人士求证，如果想要了解最正确的推理过程可以去百度百科或者去找课本。）

有人可能会不知道梯度什么意思，我这里给一个最浅显的理解方式，可能不太符合定义，但是帮助理解：

一元函数，求导之后有斜率，二元及以上函数，求导之后有梯度，可以理解为：梯度就是高维的斜率。如同：平面内是垂直，高维就是正交。

这里先暂停一下，线回顾一下一元方程： ，那么这个 y = f(x) 是一个凹函数（如无特殊说明，这个文章中的凹凸性，按照2021考研数学中的定义，2021年9月12日。），那么它会在某处存在一个最小值，假设在 的地方取得最小值，则这个地方导数为0。即：

。但是我们不看这个，看这个就是最小二乘法了，我们现在说梯度下降法，来看导数的定义：

整理移项可得：

由于处是极小值（最小值），我们的最终目标是求到，而是未知的，但是整个是一个已知的递推项，且 无限趋近于0，那么我们可以对上式做一些小的修改：

那么我们可以得到一个递推公式：

由于导函数 是导数带入具体值，是一个常数，是两个函数，进一步去掉函数，只看自变量和常数：

即，给定一个初始的x，经过一定次数的迭代之后，就能慢慢的逼近最终的一个极小值的结果。

上面是一元方程中的问题，那么现在来到二元方程，帮助你们回顾：

误差的损失函数：

对于 a 的偏导数：

 对于 b 的偏导数：

 偏导数就是在某一个方向上的导数，对于每一个单独的 a 或者 b 都可以看作：Loss(a)，Loss(b)，那么可以接受一元方程中的扩展。

那么就得到了 a 和 b 的修正规则：

，

前面的就可以认为是一个学习率。根据这两个公式，就能一步一步的求出目标的相对最优的直线参数了。

 代码实现

代码实现很简单，注释都在代码里，我感觉注释应该写清楚了。能简化的步骤我都给予了简化，希望大家能理解，不懂得欢迎评论区留言。

# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    """线性回归，梯度下降法"""
    # 随机编写一组点,使用numpy的数组可以进行加减乘的运算
    x = np.array([0.5, 0.7, 1.0, 1.5, 2.1, 2.3, 3.0, 3.3])
    y = np.array([5.0, 5.6, 5.3, 6.0, 7.0, 6.8, 9.1, 10.5])

    # 随机初始y = ax + b 的参数
    a, b = 1, 1
    times = 10000  # 迭代训练次数
    learning_rate = 0.001

    for i in range(times):  # 开始训练
        # 根据两个偏导数计算Loss/a的偏导数
        dloss_da = 2 * ((a * x + b - y)*x).sum()
        dloss_db = 2 * (a * x + b - y).sum()

        # 根据修正规则，修正参数
        a = a - learning_rate * dloss_da
        b = b - learning_rate * dloss_db

    # 得到最终的直线上x对应的点
    final_y = a * x + b
    # 画散点
    plt.scatter(x, y, label="test data point")
    plt.plot(x, final_y, label='final regression line')  # 训练完的回归线
    plt.legend()  # 将label贴到图片上
    plt.show()  # 展示这个图片

if __name__ == "__main__":
    main()

 最终的效果如图所示： 

 结束语

 这期距离上期时间间隔确实挺长，但是不会断更，因为我希望我能用最简洁的方式给大家说明白，如果我的解释哪些地方可能是错的，我会标注出，留给大家深入理解了并且数学知识足够了，再去自己探索（比如梯度下降算法的推导过程，实际情况肯定不是这样，但是这样我觉得是最容易理解的方式，需要的知识也仅仅是求导的知识而已）。

希望大家能学习到知识，这期就到这里，下期再见！欢迎评论区留言交流。