一、介绍

1、介绍

　　递归：递归就是方法自己调用自己，每次调用时传入不同的变量。递归有助于编程者解决复杂的问题，同时可以让代码变得简洁。
迭代和递归区别：迭代使用的是循环结构，递归使用的选择结构。使用递归能使程序的结构更清晰、更简洁、更容易让人理解，从而减少读懂代码的时间。其时间复杂度就是递归的次数。
　　但大量的递归调用会建立函数的副本，会消耗大量的时间和内存，而迭代则不需要此种付出。
　　递归函数分为调用和回退阶段，递归的回退顺序是它调用顺序的逆序。

　　分治：当一个问题规模较大且不易求解的时候，就可以考虑将问题分成几个小的模块，逐一解决。

2、案例

• 兔子繁殖的问题。（斐波那契数列）。
• 计算 n! 。
• 任意长度的字符串反向输出。
• 折半查找算法的递归实现。
• 汉诺塔问题
• 八皇后问题

二、迷宫问题

　　问题：寻找一条从起始点到达终点的有效路径。

　　代码示例：迷宫

  1 public class MiGong {
  2 
  3     /**
  4      * 0:该点没有走过, 1:表示墙, 2:可以走, 3:该点已经走过,但是走不通\
  5      * 策略: 下->右->上->左, 如果该点走不通，再回溯
  6      */
  7     private int[][] map;
  8     private int desX;
  9     private int desY;
 10 
 11     /**
 12      * 构建 row*col的迷宫
 13      *
 14      * @param row 行
 15      * @param col 列
 16      */
 17     public MiGong(int row, int col) {
 18         if (row <= 0 || col <= 0) {
 19             return;
 20         }
 21 
 22         map = new int[row][col];
 23 
 24         // 默认 上下左右 全部为墙
 25         for (int i = 0; i < col; i++) {
 26             map[0][i] = 1;
 27             map[row - 1][i] = 1;
 28         }
 29 
 30         for (int i = 0; i < row; i++) {
 31             map[i][0] = 1;
 32             map[i][col - 1] = 1;
 33         }
 34 
 35     }
 36 
 37     /**
 38      * 在迷宫内部添加挡板
 39      *
 40      * @param i 横坐标
 41      * @param j 纵坐标
 42      */
 43     public void addBaffle(int i, int j) {
 44         if (map == null) {
 45             return;
 46         }
 47 
 48         // 外面一周都是墙
 49         if (i > 0 && i < map.length - 1 && j > 0 && j < map[0].length - 1) {
 50             map[i][j] = 1;
 51         }
 52     }
 53 
 54     /**
 55      * 设置迷宫的终点位置
 56      *
 57      * @param desX 横坐标
 58      * @param desY 纵坐标
 59      */
 60     public void setDes(int desX, int desY) {
 61         this.desX = desX;
 62         this.desY = desY;
 63     }
 64 
 65     public boolean setWay(int i, int j) {
 66         // 通路已经找到
 67         if (map[desX][desY] == 2) {
 68             return true;
 69         } else {
 70             if (map[i][j] != 0) {
 71                 return false;
 72             }
 73 
 74             // map[i][j] == 0 按照策略 下->右->上->左 递归
 75             // 假定该点是可以走通.
 76             map[i][j] = 2;
 77             if (setWay(i + 1, j)) {
 78                 return true;
 79             } else if (setWay(i, j + 1)) {
 80                 return true;
 81             } else if (setWay(i - 1, j)) {
 82                 return true;
 83             } else if (setWay(i, j - 1)) {
 84                 return true;
 85             } else {
 86                 // 说明该点是走不通，是死路
 87                 map[i][j] = 3;
 88                 return false;
 89             }
 90         }
 91     }
 92 
 93     // 显示地图
 94     public void show() {
 95         for (int i = 0; i < map.length; i++) {
 96             for (int j = 0; j < map[0].length; j++) {
 97                 System.out.print(map[i][j] + " ");
 98             }
 99             System.out.println();
100         }
101     }
102 }

　　代码示例：测试类

 1 // 测试类
 2 public class Main {
 3 
 4     public static void main(String[] args) {
 5         MiGong miGong = new MiGong(8, 7);
 6         miGong.addBaffle(3, 1);
 7         miGong.addBaffle(3, 2);
 8         miGong.setDes(6, 5); // 设置目的地
 9 
10         System.out.println("初始地图的情况");
11         miGong.show();
12         miGong.setWay(1, 1); // 设置起始位置
13 
14         System.out.println("小球走过的路径,地图的情况");
15         miGong.show();
16     }
17 }
18 
19 // 结果
20 初始地图的情况
21 1 1 1 1 1 1 1
22 1 0 0 0 0 0 1
23 1 0 0 0 0 0 1
24 1 1 1 0 0 0 1
25 1 0 0 0 0 0 1
26 1 0 0 0 0 0 1
27 1 0 0 0 0 0 1
28 1 1 1 1 1 1 1
29 小球走过的路径,地图的情况
30 1 1 1 1 1 1 1
31 1 2 0 0 0 0 1
32 1 2 2 2 0 0 1
33 1 1 1 2 0 0 1
34 1 0 0 2 0 0 1
35 1 0 0 2 0 0 1
36 1 0 0 2 2 2 1
37 1 1 1 1 1 1 1

三、八皇后问题

　　问题：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

　　代码示例：八皇后

 1 public class Queue8 {
 2 
 3     private static final int MAX = 8;
 4     // 保存皇后放置的位置,比如 arr = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
 5     private final int[] array = new int[MAX];
 6 
 7     public static int count = 0;
 8     public static int judgeCount = 0;
 9 
10     public void check() {
11         this.check(0);
12     }
13 
14     // check 是每一次递归时，进入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此会有回溯
15     private void check(int n) {
16         // n = 8, 表示8个皇后就已经放好
17         if (n == MAX) {
18             print();
19             return;
20         }
21 
22         for (int i = 0; i < MAX; i++) {
23             array[n] = i;
24 
25             // 判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
26             // 不冲突
27             if (!judge(n)) {
28                 // 接着放n+1个皇后,即开始递归
29                 check(n + 1);
30             }
31         }
32     }
33 
34     private boolean judge(int n) {
35         judgeCount++;
36         for (int i = 0; i < n; i++) {
37             // 同一列 或 同一斜线
38             if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
39                 return true;
40             }
41         }
42         return false;
43     }
44 
45     private void print() {
46         count++;
47         for (int i = 0; i < array.length; i++) {
48             System.out.print(array[i] + " ");
49         }
50         System.out.println();
51     }
52 
53 }

　　代码示例：测试类

 1 // 测试类
 2 public class Main {
 3 
 4     public static void main(String[] args) {
 5         Queue8 queue8 = new Queue8();
 6         queue8.check();
 7 
 8         System.out.printf("一共有%d解法", Queue8.count);
 9         System.out.printf("一共判断冲突的次数%d次", Queue8.judgeCount); // 1.5w
10     }
11 }

四、汉诺塔问题

1、问题

2、思想

　　如果 n = 1，A -> C
　　如果 n >= 2，总是看做是两个盘，①最下边的盘。②上面所有的盘。则，步骤：
　　（1）先把上面所有的盘 A->B
　　（2）把最下边的盘 A->C
　　（3）把 B 塔的所有盘 从 B->C

3、代码

　　代码示例：汉诺塔问题

 1 // 汉诺塔
 2 public class Hanoitower {
 3 
 4     // 使用分治算法
 5     public static void move(int num, char a, char b, char c) {
 6         // 如果只有一个盘
 7         if (num == 1) {
 8             System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
 9         } else {
10             // n >= 2，总是看做是两个盘，①最下边的盘。②上面所有的盘。则，步骤：
11 
12             // 1.先把上面所有的盘 A->B.移动过程会使用到 c
13             move(num - 1, a, c, b);
14             // 2.把最下边的盘 A->C
15             System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
16             // 3.把 B 塔的所有盘 从 B->C.移动过程会使用到 a
17             move(num - 1, b, a, c);
18         }
19     }
20 }

　　代码示例：测试类

 1 // 测试类
 2 public class Main {
 3     public static void main(String[] args) {
 4         Hanoitower.move(3, 'A', 'B', 'C');
 5     }
 6 }
 7 
 8 // 结果
 9 第1个盘从 A->C
10 第2个盘从 A->B
11 第1个盘从 C->B
12 第3个盘从 A->C
13 第1个盘从 B->A
14 第2个盘从 B->C
15 第1个盘从 A->C