聚类算法与K-means实现

一、聚类算法的数学描述：

区别于监督学习的算法（回归，分类，预测等），无监督学习就是指训练样本的 label 未知，只能通过对无标记的训练样本的学习来揭示数据的内在规律和性质。无监督学习任务中研究最多的就是聚类算法（clustering）。我们假定一个样本集：

编号	色泽	根蒂	敲声	纹理	脐部	触感	密度	含糖率	好瓜
1	青绿	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.697	0.46	是
2	乌黑	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	0.774	0.376	是
3	乌黑	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.634	0.264	是
4	青绿	蜷缩	沉闷	清晰	凹陷	硬滑	0.608	0.318	是
5	浅白	蜷缩	浊响	清晰	凹陷	硬滑	0.556	0.215	是

该样本集中包含5个样本数据，聚类算法的目的就是将这 5 个样本划分为互不相交的子集，每个子集被称为一个簇。比如，我们以色泽对样本进行划分，可以得到3个簇，分别为：\(\lambda_{1} = \{1,4\}, \lambda_{2} = \{2,3\},\lambda_{3} = \{5\}\)。值得说明的是，在实际的聚类过程中，没有 “色泽” 的概念，聚类过程仅仅能自动形成簇结构，而簇所对应的概念语义是人为赋予的。用数学语言描述上述过程：

假设样本集 \(D=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}\) 包含 \(m\) 个无标记样本，每个样本由 \(n\) 维特征来描述，即 \(x_{i} = \{x_{i1},x_{i2},...x_{in}\}\) 。那么聚类算法的目的就是将样本集 \(D\) 划分为 \(k\) 个不相交的簇：\(D = \bigcup_{l=1}^{k} C_{l}\)，且 \(C_{i} \bigcap C_{j} = \phi,\forall i\neq j\)。我们用 \(\lambda = \{\lambda_{1}, \lambda_{2},...\lambda_{k}\}\) 来代表 \(k\) 个簇的标记，因此第 \(j\) 个簇的所有元素可以标记为 \(C_{\lambda_{j}}\) 。对应上述过程，\(m=5, k=3, \lambda=\{青绿,乌黑,浅白\}\)。

二、聚类算法的度量

每一个样本可能有 \(n\) 个特征描述，那么有没有一个度量标准来判断聚类算法的好坏呢？其中一个最重要的原则就是：相同簇的样本尽可能相似，不同簇的样本尽可能不同。聚类的性能度量有两类：1）将聚类结果与某个参考模型进行比较，称为外部指标；2）直接考察聚类结果而步利用任何参考模型，称为内部指标。

2.1 外部指标法：

对数据集 \(D=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}\) ，假设通过聚类给出的簇划分为 \(C = \{C_{1}, C_{2},...,C_{k}\}\)，而参考模型给出的簇划分为\(C^{*} = \{C_{1}^{*}, C_{2}^{*},...,C_{s}^{*}\}\)。相应地，用 \(\lambda,\lambda^{*}\) 来分别表示与 \(C, C^{*}\) 对应的标记向量，于是我们定义如下：

\[a = |SS|,\quad SS = \{(x_{i},x_{j}) | \lambda_{i} = \lambda_{j}, \lambda_{i}^{*} = \lambda_{j}^{*}\} \\ b = |SD|,\quad SD = \{(x_{i},x_{j}) | \lambda_{i} = \lambda_{j}, \lambda_{i}^{*} \ne \lambda_{j}^{*}\} \\ c = |DS|,\quad DS = \{(x_{i},x_{j}) | \lambda_{i} \ne \lambda_{j}, \lambda_{i}^{*} = \lambda_{j}^{*}\} \\ d = |DD|,\quad DD = \{(x_{i},x_{j}) | \lambda_{i} \ne \lambda_{j}, \lambda_{i}^{*} \ne \lambda_{j}^{*}\} \\ \]

刚一看到上述公式会感觉有点懵，那么我们来直观地感受一下上述表达式描述的是什么。以 \(a\) 为例，\(SS\) 代表在 \(C\) 中属于同一类且在 \(C^{*}\) 中属于同一类的样本，那么 \(a\) 就等于 \(SS\) 中样本的个数。以此类推，\(b\) 代表在 \(C\) 中属于同一类，而在 \(C^{*}\) 中属于不同类的样本个数；\(c\) 代表在 \(C\) 中属于不同类，而在 \(C^{*}\) 中属于同一类的样本个数；\(d\) 代表在 \(C\) 中属于不同类，而在 \(C^{*}\) 中也属于不同类的样本个数。看到这，有没有类似于评价指标中的精准率，召回率？https://www.cnblogs.com/zhaozhibo/p/14954685.html。由于每个样本对 \((x_{i},x_{j})\) 只能出现在一个集合中，因此：\(a+b+c+d = m(m-1)/2\)。基于此，我们给出几个常用的聚类性能度量外部指标：

1. Jaccard系数（JC系数）：\(JC = \dfrac{a}{a+b+c}\)
2. Rand指数（RI指数）：\(RI = (a+d)/\dfrac{m(m-1)}{2} = \dfrac{2(a+d)}{m(m-1)}\)
3. FM指数（FMI）：\(FMI = \sqrt{\dfrac{a}{a+b}\times \dfrac{a}{a+c}}\)

其实不难理解，JC系数描述的是分类正确的样本数占总样本数的比例，RI指数描述的是分类正确（正样本和负样本）的个数占总的样本比例，FMI描述的是分类正确占 “分类正确+分类错误” 的比例。因此这三个指标都是在 \([0,1]\)，且越大越好。

2.2 内部指标法：

仅仅考虑聚类结果的划分：\(C = \{C_{1}, C_{2},...,C_{k}\}\)，定义：

\[avg(C) = \dfrac{2}{|C|(|C|-1)}\sum_{1\le i<j \le |C|}dist(x_{i},x_{j}) \\ diam(C) = max_{1\le i<j \le |C|}dist(x_{i},x_{j}) \\ d_{min}(C_{i},C_{j}) = min_{x_{i}\in C_{i}, x_{j} \in C_{j}} dist(x_{i},x_{j}) \\ d_{cen}(C_{i},C_{j})= dist(u_{i}, u_{j}) \]

其中，\(dist(\cdot,\cdot)\) 计算两个向量之间的距离，定义为：

\[dist(x_{i},x_{j}) = (\sum_{u=1}^{n}(|x_{iu}-x_{ju}|^{p})^{\dfrac{1}{p}}) \]

1. 当 \(p=1\) 时，等效为曼哈顿距离：\(dist(x_{i},x_{j}) = (\sum_{u=1}^{n}(|x_{iu}-x_{ju}|^{}))\)
2. 当 \(p=2\) 时，等效为欧氏距离：\(dist(x_{i},x_{j}) = \sqrt{(\sum_{u=1}^{n}(|x_{iu}-x_{ju}|^{2}))}\)

\(u_{i}\) 代表第 \(i\) 个簇的中心点，即：\(u_{i} = \dfrac{1}{|C_{i}|}\sum_{i=1}^{|C_{i}|} x_{i}\)。显然，\(avg(C)\) 代表簇 \(C\) 中任意两个样本距离的平均值，\(diam(C)\) 代表簇 \(C\) 内任意两个样本之间距离的最大值，\(d_{min}(C_{i},C_{j})\) 代表不同的簇中最近的两个样本之间的距离，\(d_{cen}(C_{i},C_{j})\) 代表不同簇中心点之间的距离。根据我们 “相同簇的样本尽可能相似，不同簇的样本尽可能不同” 的原则，\(avg(C_{i})\) 越小越好，而 \(d_{cen}(C_{i},C_{j})\) 越大越好；\(d_{min}(C_{i},C_{j})\) 越大越好，\(diam(C)\) 越小越好。因此我们有如下的内部度量指标：

1. DB指数：\(DBI = \dfrac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}max(\dfrac{avg(C_{i})+avg(C_{j})}{d_{cen}(C_{i},C_{j})})\)
2. Dunn指数：\(min\{min\{ \dfrac{d_{min}(C_{i}, C_{j})}{max_{1 \le l \le k}diam(C_{l})}\}\}\)

显然，DB越小越好，而DI越大越好。

三、K-means聚类算法的实现

3.1 算法描述

给定样本集 \(D=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}\) ，“K 均值” 算法针对聚类所得簇划分 \(C = \{C_{1}, C_{2},...,C_{k}\}\) 最小化平方误差：

\[E = \sum_{i=1}^{k}\sum_{x \in C_{i}}||x-u_{i}||_{2}^{2} \]

其中，\(u_{i}\) 是簇 \(C_{i}\) 的均值向量，于是 \(E\) 描述了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，\(E\) 值越小，则簇内样本的相似度越高。但是优化起来并不容易，需要考虑样本集 \(D\) 的所有可能的簇划分，因此 \(k\) 均值采取了贪心策略，通过迭代优化来近似求解。具体的流程如下：

1. 从样本集中随机选取 \(k\) 个向量作为初始均值向量 \(\{u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}\}\)，且簇 \(C_{i}\) 设置为空；
2. 分别计算将所有的样本与初始均值向量 \(\{u_{1}, u_{2}, ..., u_{k}\}\) 的距离，将与 \(u_{i}\) 最小距离的样本 \(x_{j}\) 划分入 \(C_{i}\)，并以此类推得到第一轮的迭代结果
3. 重新更新簇 \(C_{i}\) 的均值，\(\{u_{1}^{'}, u_{2}^{'}, ..., u_{k}^{'}\}\)，然后重复步骤2
4. 直到下一轮与上一轮的结果相同，停止更新

3.2 代码实现

# k-means cluster 
def kmeans(dataSet, k): 
    numSamples = dataSet.shape[0] 
    # first column stores which cluster this sample belongs to, 
    # second column stores the error between this sample and its centroid 
    clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2))) 
    clusterChanged = True 
 
    ## step 1: init centroids 
    centroids = initCentroids(dataSet, k) 
    while clusterChanged: 
        clusterChanged = False 
        ## for each sample 
        for i in xrange(numSamples): 
            minDist  = 100000.0 
            minIndex = 0 
            ## for each centroid 
            ## step 2: find the centroid who is closest 
            for j in range(k): 
                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :]) 
                if distance < minDist: 
                    minDist  = distance 
                    minIndex = j 
             
            ## step 3: update its cluster 
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex: 
                clusterChanged = True 
                clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2 
 
        ## step 4: update centroids 
        for j in range(k): 
            pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]] 
            centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0) 
 
    print 'Congratulations, cluster complete!' 
    return centroids, clusterAssment