最优美的算法之一 —— 单调队列

应用

在了解单调队列之前，我们可以看一看有关单调队列的应用

给定一个长度为n的数组，给定一个k，使得在[i, i + k]这样的区间内的，分别输出的这个区间内的最大值和最小值。

如果是暴力思维的话，那么就可以直接遍历这里面所有的n,找到里面的最小的数和最大的数。

代码的话就是这样

n, m = map(int,input().split())#python version
maxn = []
minn = []
num = list(map(int,input().split()))

for i in range(0, n - m + 1):
    maxn.append(max(num[i:i + m]))
    minn.append(min(num[i:i + m]))
    
for i in range(len(minn)):
    print(minn[i],end=" ")
    
print("")

for i in range(len(minn)):
    print(maxn[i],end=" ")

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

// const INF = 0x3f3f3f;

int a[N];
int n, k;

void get_max()
{
	for(int i = 1; i <= n - k + 1; i++)//遍历获得每个子区间内的最大值
	{
		int maxx = a[i];
		for(int j = 0; j < k; j ++)
		{
			maxx = max(maxx, a[i + j]);
		}
		cout << maxx << " " ;
	}
			
}

void get_min()
{
	for(int i = 1; i <= n - k + 1; i++)//遍历获得每个自区间的最小值
	{
		int minn = a[i];
		for(int j = 0; j < k; j ++)
		{
			minn = min(minn, a[i + j]);
		}
		cout << minn << " " ;
	}
			
}



int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
  	cin.tie(0);
  	cout .tie(0);
  	
  	cin >> n >> k;
  	
  	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  	
  	get_min();
  	
  	cout << endl;
  	
  	get_max();
  	
  	return 0;

}

很显然，我们能够证明这样的算法复杂度是O(n * k)

这显然并不是一个很好的实现的方式，但是似乎没有什么好的方法，

这个时候就可以使用单调队列的思想

实现

一，我们以图中的数据为例

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-y8EHFGOV-1630999333074)(…/…/…/图片/QQ截图20210907150847.png)]

我们是要将这个队列初始化

使得在【0， k - 1】内里面的第一位一定是这个数组内的最小的数

int head = 0, tail = 0;
	for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;//使得入队的结果的一定是前面结果里面最小的
		q[++tail] = i;
	}

二，然后就可以从【k, n】的过程完成遍历，

​ 出队的结果有且仅有两种

①，这个最小值不在这个区间内

②，这个数已经不是最小值了

代码的实现为

for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
	

综合起来，代码的实现就是

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 3;

int q[N], a[N];
int n, k;

void get_min()
{
	int head = 0, tail = 0;
	for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	
	for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
	
}

void get_max()
{
	int head = 0, tail = 0;
		for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	
	for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i++)	cin >> a[i];
	
	get_min();
	puts("");
	get_max();
	
	return 0;
}

复杂度为O(n),大大的优化了。