什么是拉丁超立方抽样法？它和蒙特卡罗模拟有什么关系？

逆变换方法(The Inverse Transform Method)采样

拉丁超立方抽样

拉丁超立方抽样(LHS)是一种从多维分布中生成参数值的近随机样本的统计方法。抽样方法常用于构建计算机实验或进行蒙特卡罗积分。在统计抽样的上下文中，当(且仅当)每行和每列只有一个样本时，包含样本位置的方格为拉丁方格。拉丁超立方体是将这个概念推广到任意数量的维数，因此每个样本是包含它的每个轴向超平面上的唯一一个样本。

在简单随机抽样中，不考虑之前生成的样本点，生成新的样本点。我们并不需要事先知道需要多少采样点。

在拉丁超立方抽样中，首先必须决定使用多少采样点，并且记住每个采样点是在哪一行和哪一列中采样的。请注意，这种配置类似于在不互相威胁的情况下，在棋盘上有N辆車。

拉丁超立方抽样也是蒙特卡洛模拟法的一种，它改进了采样策略能够做到以较小的采样规模获得较高的采样精度，在实际应用中具有高效性很受欢迎。核心步骤为分层抽样、打乱排序。

概率密度函数PDF和累计概率密度函数CDF

蒙特卡罗抽样技术完全是随机的，即在输入分布的范围内，样本可以落在任何位置。样本更有可能从高发生概率的分布区域中抽取。在累积分布中，每个蒙特卡罗样本使用一个0 和 1之间的新的随机数。在足够的迭代之后，蒙特卡罗抽样通过抽样“重建”输入分布。但是，当执行的迭代次数少的时候，会产生聚集的问题。

拉丁超立方体抽样是抽样技术的最新进展，和蒙特卡罗方法相比，它被设计成通过较少迭代次数的抽样，准确地重建输入分布。拉丁超立方体抽样的关键是对输入概率分布进行分层。分层在累积概率尺度（0，1.0）上把累积曲线分成相等的区间。然后，从输入分布的每个区间或“分层”中随机抽取样本。抽样被强制代表每个区间的值，于是，被强制重建输入概率分布。

假设我们要在n维向量空间里抽取m个样本。拉丁超立方体抽样的步骤是：

（1）将每一维分成互不重迭的m个区间，使得每个区间有相同的概率
（通常考虑一个均匀分布，这样区间的长度相同）。

（2）在每一维里的每一个区间中随机的抽取一个点；

（3）再从每一维里随机抽出（2）中选取的点，将它们组成向量。

在抽样时，每个区间都抽取一个样本。使用拉丁超立方体方法，样本更加准确地反映输入概率分布中值的分布。在拉丁超立方体抽样中使用的技术是“抽样不替换”，累积分布的分层数目等于执行的迭代次数。

matlab实现拉丁超立方抽样（逆变换法）

1. 从离散均匀分布U[1, 1024]中抽样10000个点

x = unidinv(linspace(0+eps, 1, 10000), 1024);
idx = randperm(length(x));
y = x(idx);

figure
plot(y, '.')

figure
plot(unique(x), 'o')
xlim([0, 1024])

抽样结果

 抽样结果区间分布

 直方图（binwidth=3）

 可以看到拉丁超立方的好处是覆盖率高（因为这里即使仅抽取1024个点，也能覆盖整个抽样区间）。

2. 从高斯分布N(5, 3)中抽样

x = norminv(linspace(0+eps, 1, 10000), 5, 3);
idx = randperm(length(x));
y = x(idx);

figure
plot(y, '.')

figure
histogram(y, 'binwidth', 0.1)

抽样结果

直方图（binwidth=0.1）

 3. matlab中常用分布的PDF、CDF和逆CDF

可以看到逆变换法需要用到CDF的逆，这里给出matlab中常见的概率分布。

来自：https://blog.csdn.net/leo2351960/article/details/39207299/

统计工具箱函数
Ⅰ-1        概率密度函数
函数名        对应分布的概率密度函数
betapdf        贝塔分布的概率密度函数
binopdf        二项分布的概率密度函数
chi2pdf        卡方分布的概率密度函数
exppdf        指数分布的概率密度函数

evpdf         最大值型的极值I型分布（Gumbel分布）
fpdf        f分布的概率密度函数
gampdf        伽玛分布的概率密度函数
geopdf        几何分布的概率密度函数
hygepdf        超几何分布的概率密度函数
normpdf        正态（高斯）分布的概率密度函数
lognpdf        对数正态分布的概率密度函数
nbinpdf        负二项分布的概率密度函数
ncfpdf        非中心f分布的概率密度函数
nctpdf        非中心t分布的概率密度函数
ncx2pdf        非中心卡方分布的概率密度函数
poisspdf        泊松分布的概率密度函数
raylpdf        雷利分布的概率密度函数
tpdf        学生氏t分布的概率密度函数
unidpdf        离散均匀分布的概率密度函数
unifpdf        连续均匀分布的概率密度函数
weibpdf        威布尔分布的概率密度函数

Ⅰ-2  累加分布函数
函数名        对应分布的累加函数
betacdf        贝塔分布的累加函数
binocdf        二项分布的累加函数
chi2cdf        卡方分布的累加函数
expcdf        指数分布的累加函数

evcdf         最大值型的极值I型分布(Gumbel)的累加函数
fcdf        f分布的累加函数
gamcdf        伽玛分布的累加函数
geocdf        几何分布的累加函数
hygecdf        超几何分布的累加函数
logncdf        对数正态分布的累加函数
nbincdf        负二项分布的累加函数
ncfcdf        非中心f分布的累加函数
nctcdf        非中心t分布的累加函数
ncx2cdf        非中心卡方分布的累加函数
normcdf        正态（高斯）分布的累加函数
poisscdf        泊松分布的累加函数
raylcdf        雷利分布的累加函数
tcdf        学生氏t分布的累加函数
unidcdf        离散均匀分布的累加函数
unifcdf        连续均匀分布的累加函数
weibcdf        威布尔分布的累加函数

 

Ⅰ-3  累加分布函数的逆函数
函数名        对应分布的累加分布函数逆函数
betainv        贝塔分布的累加分布函数逆函数
binoinv        二项分布的累加分布函数逆函数
chi2inv        卡方分布的累加分布函数逆函数
expinv        指数分布的累加分布函数逆函数

evinv         Gumbel分布的逆函数
finv        f分布的累加分布函数逆函数
gaminv        伽玛分布的累加分布函数逆函数
geoinv        几何分布的累加分布函数逆函数
hygeinv        超几何分布的累加分布函数逆函数
logninv        对数正态分布的累加分布函数逆函数
nbininv        负二项分布的累加分布函数逆函数
ncfinv        非中心f分布的累加分布函数逆函数
nctinv        非中心t分布的累加分布函数逆函数
ncx2inv        非中心卡方分布的累加分布函数逆函数
icdf       
norminv        正态（高斯）分布的累加分布函数逆函数
poissinv        泊松分布的累加分布函数逆函数
raylinv        雷利分布的累加分布函数逆函数
tinv        学生氏t分布的累加分布函数逆函数
unidinv        离散均匀分布的累加分布函数逆函数
unifinv        连续均匀分布的累加分布函数逆函数
weibinv        威布尔分布的累加分布函数逆函数