普通组合恒等式

练习 \(\LaTeX\)！

\[{n \choose k}={n \choose n-k} \]

\[\sum_{i=0}^n {n \choose i}=2^n \]

废话

\[{n \choose k}{k \choose m}={n \choose m}{n-m \choose k-m}={n \choose k-m}{n-k+m \choose m}(n \geq k \geq m) \]

就是换个顺序

\[k{n \choose k}=n{n-1 \choose k-1} \]

n个取k个，先看第k个取出来的是啥，然后就有\(n{n-1 \choose k-1}\)，但是是组合不是排列，所以除k去重，移项

\[{n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1} \]

\[\sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i}=0（n \geq 1) \]

\[\sum_{i=m}^n {i \choose m}={n+1 \choose m+1} \]

用杨辉三角很好理解

\[\sum_{i=n}^n+m {k \choose i}={n+m+1 \choose k+1}-{n \choose k+1} \]

就是第7个作差

\[\sum_{i=0}^p {n \choose i}{m \choose p-i}={n+m \choose p} \]

把两部分合起来