一、快排：

步骤：

1.确定分界点x（q[ l ], q[(l + r) / 2], q[r]）

2.调整区间（左区间<=x，右区间>=x）

3.递归处理左右两段

① 暴力做法

1.确定分界点x（q[ l ], q[(l + r) / 2], q[r]）

2. 开两个数组a[ ]、b[ ]

3. 遍历当前数组q[L ~ R] (从左到右全部遍历一遍），小于等于x的数存到a，大于x的数存到b

4. 

② 双指针做法

1.确定分界点x（q[ l ], q[(l + r) / 2], q[r]）

2. 定义左右指针L和R分别指向左右

3. 当L <= x时，L继续往右走，R > x时，R继续往左走，L > x时， L停下，R  <= x时，R停下，如果只有一个停下的时候另一个继续走，当两个都停下时，swap交换两个值，两个指针都向前移动一位，并继续走直至两指针不能再走，记下L 和 R 的值（此过程中两指针会相互穿过）

4. 此时的数组，左边到L <= x, R到右边 > x

例1：785. 快速排序

给定你一个长度为 nn 的整数数列。

请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼10^9 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

1≤n≤100000

输入样例：

5
3 1 2 4 5

输出样例：

1 2 3 4 5

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j) {
        do i ++; while (q[i] < x);
        do j --; while (q[j] > x);
        if (i < j) swap (q[i], q[j]);
    }
    //左区间
    quick_sort(q, l, j);
    //右区间
    quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf ("%d", &q[i]);
    
    quick_sort (q, 0, n - 1);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) printf ("%d ", q[i]);
    return 0;
}

二、归并：

步骤：

1.确定分界点mid = (l + r) / 2

2.递归

3.合并

例1：787. 归并排序

给定你一个长度为 n 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在 1∼10^9 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

1≤n≤100000

输入样例：

5
3 1 2 4 5

输出样例：

1 2 3 4 5

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int q[N], temp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] <= q[j]) temp[k ++] = q[i ++];
        else temp[k ++] = q[j ++];
    }
    while (i <= mid) temp[k ++] = q[i ++];
    while (j <= r) temp[k ++] = q[j ++];
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) q[i] = temp[j];
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf ("%d", &q[i]);
    
    merge_sort (q, 0, n - 1);
    
    for (int i = 0; i < n; i ++) printf ("%d ", q[i]);
    return 0;
}

例2：788. 逆序对的数量

给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

1≤n≤100000
数列中的元素的取值范围 [1,10^9]

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int q[N], temp[N];

LL merge_sort (int q[], int l, int r) {
    if (l >= r) return 0;
    int mid = l + r >> 1;
    LL res = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (q[i] <= q[j]) temp[k ++] = q[i ++];
        else {
            temp[k ++] = q[j ++];
            res += mid - i + 1;
        }
    }
    while (i <= mid) temp[k ++] = q[i ++];
    while (j <= r) temp[k ++] = q[j ++];
    for (int i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) q[i] = temp[j];
    return res;
}

int main () {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf ("%d", &q[i]);
    
    cout << merge_sort (q, 0, n - 1);
    
    return 0;
}

三、整数二分：

有单调性的一定可以二分，可以二分的不一定有单调性

例1：789. 数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int q[N];

int main () {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++) scanf ("%d", &q[i]);
    while (m --) {
        int x;
        cin >> x;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else {
            cout << l << ' ';
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

四、浮点数二分（不用管边界）
例：790. 数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    double x;
    cin >> x;
    
    double l = -10000, r = 10000;
    while (r - l > 1e-8) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    // printf 默认保留6位小数
    printf ("%lf\n", l);
    return 0;
}