题目链接

屑题，估计考场上遇见这种东西我会直接被送退役。（悲）

这一题可以当做下降幂多项式入门。

下降幂记作 \(n^{\underline x}=\frac{n!}{(n-x)!}\)。

这个东西也有一个你小学就知道的名字叫做排列。

推式子的基础是 \(k^{\underline m}\dbinom n k=\frac{k!n!}{(k-m)!k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-m)!(n-k)!}=\frac{n!(n-m)!}{(k-m)!(n-k)!(n-m)!}=\dbinom{n-m}{k-m}n^{\underline m}\)，\(x^n=\sum_{i=0}^n{n\brace i}x^{\underline i}\) 和二项式定理 \((x+y)^n=\sum_{i=0}^n\dbinom n ix^iy^{n-i}\)。

我们开始：

\(\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^ma_ik^ix^k\dbinom n k\)

\(=a_0\sum_{p=0}^n\dbinom n px^p\sum_{k=0}^n(\sum_{i=1}^mk^{\underline i}\sum_{j=i}^ma_j{j\brace i}\dbinom n kx^k)\)​​​

\(=a_0(x+1)^n+\sum_{i=1}^m(\sum_{j=i}^ma_j{j\brace i})n^{\underline i}\sum_{k=0}^n\dbinom{n-i}{k-i}x^k\)​

\(=a_0(x+1)^n+\sum_{i=1}^m(\sum_{j=i}^ma_j{j\brace i})n^{\underline i}\sum_{k=0}^{n-i}\dbinom{n-i}{k}x^{k+i}\)

\(=a_0(x+1)^n+\sum_{i=1}^m(\sum_{j=i}^ma_j{j\brace i})n^{\underline i}x^i\sum_{k=0}^{n-i}\dbinom{n-i}{k}x^k\)

\(=a_0(x+1)^n+\sum_{i=1}^m(\sum_{j=i}^ma_j{j\brace i})n^{\underline i}x^i(x+1)^{n-i}\)

其中把多项式的常数项拆出来单算的原因是斯特林数 \(n\brace m\) 中 \(n,m\) 是正整数。

然后 \(O(m^2)\) 预处理第二类斯特林数，再每次 \(O(m^2)\) 大力计算这个式子即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
int s[1001][1001],n,m,x,mod,ans,a[1001],c,sum;
inline int pw(int a,int b)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&x,&mod,&m);
    x%=mod;
    for(register int i=0;i<=m;++i)
        scanf("%lld",&a[i]);
    s[1][1]=1;
    for(register int i=2;i<=m;++i)
        for(register int j=1;j<=i;++j)
            s[i][j]=(j*s[i-1][j]%mod+s[i-1][j-1])%mod;
    ans=a[0]*pw((x+1)%mod,n)%mod;
    c=1;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        c=c*(n-i+1)%mod*x%mod;
        sum=0;
        for(register int j=i;j<=m;++j)
            sum=(sum+a[j]*s[j][i]%mod)%mod;
        ans=(ans+pw((x+1)%mod,n-i)*c%mod*sum%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}