算法的时间和空间复杂度

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一、算法

算法释志南用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题，使用不同的算法，也许最终得到的结果是一样的，但在这个过程中消耗的资源和时间却会有很大区别。

如何衡量不同算法之间的优劣？

从算法所占的时间和空间两个维度去衡量：

• 时间维度：执行当前算法所消耗的时间。我们通常用时间复杂度来描述。
• 空间维度：执行当前算法需要占用的内存。我们通常用空间复杂度来描述。

因此，评价算法的效率主要看它的时间复杂度和空间复杂度。

下面介绍时间复杂度和空间复杂度的计算方法：

二、时间复杂度

我们想要知道一个算法的时间复杂度，可以把这个算法程序运行一遍，那么它所消耗的时间内自然而然就知道了，不过这种方式有很多弊端。

这种方式非常受运行环境的影响，在性能高的机器上跑出来的结果与在性能低的机器上跑出来的结果相差会很大。而且对测试时使用的数据规模也有很大关系。

因此，另一种更为通用的方法就出来了：大O符号表示法：即**T(n) = O(f(n)) **

举个例子：

for(i = i;i <= n; ++i){
    j = i;
    j++;
}

通过大O符号表示法，这段代码的时间复杂度为 O(n) , 为什么？

在大O符号表示法中时间复杂的公式是T(n) = O(f(n)) ，其中 f(n) 表示每行代码运行次数之和，而 O 表示正比例关系，这个公式的全称是算法的渐进时间复杂度。

我们继续看上面的例子，假设每行代码的执行时间都是一样的，我们用1颗粒时间来表示，那么这个例子的第一行耗时是1颗粒时间，第三行的执行时间是n个颗粒时间，第四行执行的时间也是n个颗粒时间，那么总的时间就是 （1+2n）个颗粒时间，即：T(n) = (1+2n)* 颗粒时间，从这个结果可以看出，这个算法耗时是随着 n 的变化而变化的，因此我们可以简化的将这个算法的时间复杂度表示为：T(n) = O(n)

为什么可以这样简化？因为大O符号表示法并不是用来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。

所以上面的例子中，如果n无线大的时候， T(n) = time(1+ 2n) 中的常量1就没有意义了，倍数2 的意义也不大，所以直接简化为 T(n) = O(n)

常见的时间复杂度量级有：

• 常数阶 O(1)
• 对数阶 O(logN)
• 线性阶 O(n)
• 线性对数阶 O(nlogN)
• 平方阶 O(n^2)
• 立方阶 O(n^3)
• k次方阶 O(n^k)
• 指数阶 （2^n）

以上自上而下时间复杂度因此增加，执行的效率越来越低。

以下选取一些常用的来讲解一下：

1.常数阶 O(1)

无论代码执行多少次，只要没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是 O(1) ，如：

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代在执行的时候，它消耗的时间并不随着谋个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，都可以用 O(1) 来表示它的时间复杂度。

2.线性阶 O(n)

如：

for(i = 1;i <= n; ++i){
    j = i;
    j++;
}

这段代码，for循坏里面的代码会执行 n 遍，因此它消耗的时间会随着 n 的变化而变化，因此这类代码都可以用 O(n) 来表示它的时间复杂度。

3.对数阶 O(logN)

int i = 1;
while(i < n){
    i = i * 2;
}

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2 ，乘、完之后 i 距离 n 越来越近。假设循坏 x 次之后，i 就大于 2

了，此时就退出 while 循环，也就是说 2 ^ x = n ,那么 x = log2 ^ n

也就是说循环 log2 ^ n 次之后这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为 O(logn)

4.线性对数阶 O(nloogN)

将时间复杂度为 O(logn) 的代码循环 N 遍，那么它的时间复杂度就是 n * O(logn)

例：

for(m = 1;m < n; m++){
    i = 1;
    while(i < n){
        i = i * 2;
    }
}

5.平方阶 O(n^2)

把 O(n) 的代码再嵌套循坏一遍，它的时间复杂度就是 O(n^2) 了

例：

for(j = 1;i <= n; j++){
    for(i = 1;i <= n;i++){
     j = 1;
     j++;
    }
}

这个代码就是嵌套了 2 层 n 循环，它的时间复杂度就是 O(n^2)

5.O(m*n)

如果将上面这个代码其中一层循环的 n 改成 m ，即：

for(j = 1;i <= m; j++){
    for(i = 1;i <= n;i++){
     j = 1;
     j++;
    }
}

那它的时间复杂度就是 O(m*n)

6.立方阶 O(n^3) 、k次方阶 O(n^k)

参考上面的 O(n^2) 去理解， O(n^3) 相当于三层 n 循坏，O(n^k) 相当于k层 n 循坏

三、空间复杂度

既然时间复杂度不是用来计算程序具体时间消耗的，那么空间复杂度也不是用来计算程序实际占用的空间的。

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用储存空间大小的一个度量，同样反映的是一个趋势，用 S(n) 来定义。

空间复杂度比较常用的有 ：O(1) 、O(n) 、O(n^2)

1.空间复杂度 O(1)

如果算方法执行所需要的临时空间不随着某个变量的变化而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)

例：

int i = 1;
int j = 2;
++i,
j++;
int m = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度为 S(n) = O(1)

2.空间复杂度 O(n)

int[] m = new int[n];
for(i = 1; i <= n; ++i){
    j = i;
    j++;
}

上面这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2~6行，虽然有循坏，但是没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)