大家好，我是编程熊。

往期我们一起学习了《线性表》相关知识。

本期我们一起学习二叉树，二叉树的问题，大多以递归为基础，根据题目的要求，在递归过程中记录关键信息，进而解决问题。

如果还未学习递归的同学，编程熊后续会讲解递归，建议学习递归后再来做二叉树相关题目，但并不影响学习二叉树基础知识部分。

本文将从以下几个方面展开，学习完可以解决面试常见的二叉树问题。

二叉树概述和定义

顾名思义，二叉树的每个节点最多有两个子节点，下图展示了常见的二叉树。

二叉树的定义方式

二叉树是由许多节点组成，节点有数据域、指针域，节点之间通过指针链接，形成一棵树。

二叉树节点的定义方式(C++代码):

struct TreeNode {
  	// 节点数据
    int val;
    // 指向左儿子的指针
    TreeNode *left;
    // 指向右儿子的指针
    TreeNode *right;
    // 构造函数
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

二叉树存储方式

二叉树常见的存储方式有:

1. 链式存储: 链表的思想，通过指针定位。
2. 数组存储: 数组的下标也是一个索引，可以定位到节点，数组存储的数据即为节点数据。

下图是链式存储的示意图。

下图是数组存储的示意图。

二叉树分类

二叉树根据节点的分布位置、节点数值的排列方式，分为以下几种。

• 满二叉树
• 完全二叉树
• 平衡二叉树
• 二叉搜索树

下面，我将从分别讨论以上几种二叉树特点。

满二叉树

满二叉树的特点有:

1. 除最后一层无子节点外，其余每层的节点都有两个子节点。

下图是一个满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树的特点有:

1. 至多只有最后一的没有被填充满，其余每层都被填充满。
2. 如果最后一层没有填充满，那么所有的节点都在最后一层左边的位置上。

下图演示了一个完全二叉树。

平衡二叉树

平衡二叉树的特点有:

1. 空树 或 左右两个子树的高度差 的绝对值不超过1。
2. 左右两个子树都是一个平衡二叉树。

下图演示了一个平衡二叉树。

二叉搜索树

二叉搜索树的特点有:

1. 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值

下图演示了一个二叉搜索树。

二叉树遍历方式

二叉树遍历方式根据遍历节点的先后顺序，分为以下几种。

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历

前序遍历

前序遍历节点的顺序是：根、左、右。

下面是前序遍历的伪代码。

// 伪代码
// root left right

// 遍历根
dfs(root);

// 遍历左节点
dfs(left);

// 遍历右节点
dfs(right);

中序遍历

中序遍历节点的顺序是：左、根、右。

下面是中序遍历的伪代码。

// 伪代码
// 顺序: left root right

// 遍历左节点
dfs(left);

// 遍历根
dfs(root);

// 遍历右节点
dfs(right);

后序遍历

后序遍历节点的顺序是：左、右、根。

下面是后序遍历的伪代码。

// 伪代码
// 顺序: left right root

// 遍历左节点
dfs(left);

// 遍历右节点
dfs(right);

// 遍历根
dfs(root);

举例分析

下图以一棵树，分别演示了前序、中序、后续遍历的结果。

例题

LeetCode 104. 二叉树的最大深度

题意

给定一个二叉树，找出其最大深度。

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。

示例

给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，

    3
   / \
  9  20
    /  \
   15   7

题解

从根节点递归遍历每个节点，同时记录每个节点的深度。

每个点的深度等于父节点深度+1，根节点的深度设为1。

下图为求二叉树的最大深度的示意图。

代码

class Solution {
public:
    int maxDepth(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) 
          return 0;
        return 1 +  max(maxDepth(root->left), maxDepth(root->right));
    }
};

LeetCode 110. 平衡二叉树

题意

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。

示例

输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：true

题解

递归记录每个节点左右子树的高度差，平衡二叉树定义: 左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。若超过则不是平衡二叉树。

代码

class Solution {
public:
    bool isBalanced(TreeNode* root) {
        return dfs(root) >= 0;
    }
                    
    int dfs(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }
        // 记录左子树的高度
        int left_height = dfs(root->left);
      	
      	// 记录右子树的高度
        int right_height = dfs(root->right);
        
      	// 根据左右子树深度，判断是否满足平衡二叉树条件
        if (abs(left_height - right_height) > 1 || left_height == -1 || right_height == -1) {
            return -1;
        } 
        
      	// 返回当前节点的子树的最大深度
        return 1 + max(left_height, right_height);
    }
};

LeetCode 144. 二叉树的前序遍历

题意

给你二叉树的根节点 root ，返回它节点值的 前序 遍历。

示例

输入：root = [1,null,2,3]
输出：[1,2,3]

题解

根据前序遍历定义的遍历顺序，即根、左、右的顺序遍历二叉树。

代码

class Solution {
public:
    vector<int> preorderTraversal(TreeNode *root) {
        vector<int> ans;
        dfs(root, ans);
        return ans;
    }
                    
    void dfs(TreeNode *root, vector<int> &ans) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        
        ans.push_back(root->val);
        
        dfs(root->left, ans);
        dfs(root->right, ans);
    }
};

LeetCode 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树

题意

给定一棵树的前序遍历 preorder 与中序遍历 inorder。请构造二叉树并返回其根节点。

示例

Input: preorder = [3,9,20,15,7], inorder = [9,3,15,20,7]
Output: [3,9,20,null,null,15,7]

题解

前序遍历的顺序是: 根、左、右。因此前序遍历数组的第一个节点就是根，因此前序序列可以快速定位根。

中序遍历的顺序是: 左、根、右。根据前序序列找到根，可以将左子树和右子树 分割 开，同时可以知道左子树的节点数量和右子树的节点数量。

下图是思路示意图。

因此我们可以利用前序遍历快速定位根，再利用中序遍历将左子树和右子树 分割 开，并知道左右子树的节点数量。

代码实现上，可以通过递归不断的划分左右子树，左右子树分别返回其根节点，就是根节点的左儿子、右儿子，细节可以看下面代码，很容易理解。

代码

// 代码来源于下面链接, 根据自己偏好, 进行了修改。
// https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/solution/cong-qian-xu-yu-zhong-xu-bian-li-xu-lie-gou-zao-9/
struct TreeNode {
     int val;
     TreeNode *left;
     TreeNode *right;
     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
};

class Solution {
public:
    unordered_map<int, int> index;
    TreeNode* myBuildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder, int preorder_left, int preorder_right, int inorder_left, int inorder_right) {
        if (preorder_left > preorder_right) {
            return nullptr;
        }

        // 前序遍历中的第一个节点就是根节点
        int preorder_root = preorder_left;
        // 在中序遍历中定位根节点
        int inorder_root = index[preorder[preorder_root]];

        // 先把根节点建立出来
        TreeNode* root = new TreeNode(preorder[preorder_root]);
        // 得到左子树中的节点数目
        int size_left_subtree = inorder_root - inorder_left;
        // 递归地构造左子树，并连接到根节点
        // 先序遍历中「从 左边界+1 开始的 size_left_subtree」个元素就对应了中序遍历中「从 左边界 开始到 根节点定位-1」的元素
        root->left = myBuildTree(preorder, inorder, preorder_left + 1, preorder_left + size_left_subtree, inorder_left, inorder_root - 1);
        // 递归地构造右子树，并连接到根节点
        // 先序遍历中「从 左边界+1+左子树节点数目 开始到 右边界」的元素就对应了中序遍历中「从 根节点定位+1 到 右边界」的元素
        root->right = myBuildTree(preorder, inorder, preorder_left + size_left_subtree + 1, preorder_right, inorder_root + 1, inorder_right);
        return root;
    }

    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
        int size = preorder.size();
        // 构造哈希映射，快速定位中序遍历的根节点
        for (int i = 0; i <= size - 1; ++i) {
            index[inorder[i]] = i;
        }
        return myBuildTree(preorder, inorder, 0, size - 1, 0, size - 1);
    }
};

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我是编程熊，我们下期见。