回溯

1.概念

回溯是很经典的一个算法，什么是回溯，回溯其实是一种暴力枚举的方式，为啥都暴力了还是很经典的一种方法呢，其实是因为有些问题我们能暴力出来就不错了，就别要其他自行车了。常见的回溯类问题：组合；排列；切割；子集；棋牌；

其实回溯算法就是常说的DFS,本质上是一种暴力枚举算法；

回溯算法常用于解决的问题：
组合
排列
切割
子集
棋盘：N皇后

2.过程

这是回溯的第一道题，回溯是很经典的一个算法，什么是回溯，回溯其实是一种暴力枚举的方式，为啥都暴力了还是很经典的一种方法呢，其实是因为有些问题我们能暴力出来就不错了，就别要其他自行车了。常见的回溯类问题：组合；排列；切割；子集；棋牌；

比如最经典的排列。从1,2,3,4,5中取3个数组成排列有多少种，我们肯定会解决这种问题，但是程序怎么写呢。想一下我们解决这个问题的过程，我们先选1，然后第二个数可以选2，第三个数可以选3，这是一种答案了，然后呢，换第三个数，第三个数选4，又一种答案，再换，第三个数选5，没得选了，所以以12打头的数都选完了，得到三种答案.然后再换第二个数，第二个数选3，然后第三个数选4，注意是组合问题所以我们不能退往回选2了，不然就重复了。就是这样一种选择方案，一直到第3个数选成了3，得到答案345，就不用往后进行了。

你看，这其实就是一个多叉树啊！每走一步我们都要做出自己的选择，然后在该选择的基础上做下一步选择，直到这个选择达到了题目要求，然后我们放弃我们上一步做的选择，去换另外一种选择试一试。这个换掉我们上一步做的选择就是回溯的过程，也就是“撤销选择”。因为只有把上一步的选择撤销了我们才能够得到新的选择，比如123，只有把3撤销了我们才能去选择4.

这个过程中有递归吗？当然有啊，我们把问题缩小一点，比如123三个数字的全排列，首先1打头，得到123,132，这其实就是1+[2,3]的全排列；递归体现在这里！

回溯和递归相辅相成，前面也说过了这就是一颗树，而树就一定会用到递归。这棵树我们起了一个名字叫做决策树，每走一步都是在做一次选择一次决策，就和我们的人生一样。想象一下回溯、深度优先搜索(DFS),递归，都有一种“不撞南墙不死心" 的意思，而这个南墙就是我们的结束条件。 。

3.模板

解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程
主要需要思考三个问题：

• 路径：记录我们做出了的选择(走过的决策树上的路径，我们一般都是在最后的叶子节点上去收集结果)；【比如我们选的123,124】;
• 选择列表：当前情况下我们可以做出的选择；【比如在第三步我们可以选3.4.5】
• 结束条件：也就是到达了决策树的底层叶子节点，选择列表为空了，无法再做出别的选择了。【比如我们的树选完了123达到题目中的要求3个元素了，就不能够再做选择了】

回溯算法的模板：

result = []   //结果集
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)  //把已经做出的选择添加到结果集；
        return  //一般的回溯函数返回值都是空；

    for 选择 in 选择列表: //其实每个题的不同很大程度上体现在选择列表上，要注意这个列表的更新，
    //比如可能是搜索起点和终点，比如可能是已经达到某个条件，比如可能已经选过了不能再选；
        做选择  //把新的选择添加到路径里；路径.add(选择)
        backtrack(路径, 选择列表) //递归；
        撤销选择  //回溯的过程；路径.remove(选择)

核心就是for循环里的递归，在递归之前做选择，在递归之后撤销选择；

在这个过程中还有一点很重要，就是我们其实是在做两种遍历；

• 横向遍历(for):其实就是我们在不停的做着的选择；
• 纵向遍历(递归):其实就是在做完选择后面临的下一轮选择；

其实不同的情境下最大的不同就在于决策列表的更新，比如说搜索起点和终点，比如说是否已经被选过，比如说是否达到某个条件(只要求k个数或者和为目标值)；；

4.样例

比如说下面的从4个数中选2个树组合，这就是对应的决策树。

其实每一个节点都是在做着同样的事情，只不过选择列表不一样了，而这也是每道里最大的不一样。

再换个角度去看这决策树:

• 横向遍历(for):从左到右做决策；
• 纵向遍历(递归):在做完决策后开始下一轮决策；

这个样例就是我们的下面这道题目

77. 组合

39. 组合总和

40. 组合总和 II

216. 组合总和 III

46. 全排列

47. 全排列 II

51. N 皇后

5.体会

• 1.只要是涉及到做选择的，尤其是提到的五个类型：组合、排序、分割、子集、棋盘。这种都可以构建一颗决策树，那就都可以用回溯算法去解。解之前先自己把决策树画出来。
• 2.整体上套用模板，最大的不同就在于选择列表的更新，要能够根据题目中的要求来更新选择列表，比如到达某个深度了，比如和为某个值了等等；
• 3.在求和问题中，排序之后加上剪枝是很常见的操作，能够舍弃无关的操作(和已经到达某一值了，因为排过序，其后的值就更大了)；