前言：

记得去年五一的时候我买了lxl的那个数据结构的五一专题。

结果当时死活听不懂……

现在回头来看看，真的学着挺轻松的。

所以写个简单的总结吧。

树状数组（Binary Index Tree）

现在真的觉得这个东西神奇的一批。

也不知道是哪个天才想到这种数据结构。

居然可以用 \(\log n\) 个元素来查询前缀和。

真的很牛逼啊。

树状数组真的玄乎，所以直接上原理图吧。

这就是一个树状数组。

我们设 \(a[]\) 为原序列，\(t[]\) 为树状数组。

那么这样的构造有什么用呢？

看一下 \(t[]\) 的特点：

发现了么？树状数组里下标和 \(2\) 有关系的似乎表示的长度要长的多？

那么这就牵扯到树状数组的基本原理了。

正如所有的整数都可以表示成2的幂和，我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。

采用这个想法，我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和

而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。

一方面，子序列的个数是其二进制表示中1的个数，

另一方面，子序列代表的t[i]的个数也是2的幂。

                                ——Peter M. Fenwick，1994

看不懂？没事，我们先看看它能干些什么。

单点修改操作

如果我们修改 \(a[3]\) 的值。

考虑会影响到哪些 \(t[i]\)

看一下我最开始列的那一个表。

会发现这只会影响 \(t_3,t_4,t_8\)

那我们修改这些 \(t[i]\) 就好。

你会发现，这里我们所用的数的个数是小于等于 \(\log(n)\)的

也就是说它可以在 \(\log (n)\) 的时间内完成单点修改。

前缀和

前面你也可以看到。

所以树状数组能否维护前缀和？

可以的。

看上面的图。

我们如果要查询 \(a[1,3]\) 的前缀和。

只需要用 \(t_2+t_3\) 就可以了。

这里我们查询的时候用的数的个数也是小于等于 \(\log (n)\)的。

所以结合上文。

我们可以发现。

树状数组是一个利用 \(\log(n)\) 以内个的元素去凑出子序列的信息，以此来维护序列的数据结构。

当然，如果你要区间查询和，用一下 \(sum(r)-sum(l-1)\) 不就好了？

这时候有人就要问了：怎么去确定要用那些元素来维护呢？

这时候就要请出 lowbit 先生了~

它可以返回一个数二进制表示下的最低位。

也就是返回二进制数的最后一位1，并且在返回时附带其后面的0

那么这个性质可以干啥？因为树状数组的本身性质。

我们可以直接用 for(初值;条件;i+(-)=lowbit(i)) 来找出要用的元素。

真妙啊~。

那么代码如下：

 int lowbit(int x){
     return x&-x;
 }
 void modify(int x,int y){
     for(register int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
         t[i]+=y;
     }
 }
 int sum(int x){
     int res=0;
     for(register int i=x;i;i-=lowbit(i)){
         res+=t[i];
     }return res;
 }
 int query(int l,int r){
     return sum(r)-sum(l-1);
 }

其实 sum 操作的时候就是在不断的去掉 i 末尾的 1 并把它变成 0

而 modify 则是一点一点加上去（其实就是和 sum 互逆的过程）。

区间修改：

这个也比较容易。

我们知道差分珂以 \(\text{O}(1)\) 修改区间。

所以我们直接用树状数组维护一个差分数组就好了。

区间加区间和：

这个是在上一个的基础上推出来的。

我们知道，我们维护在树状数组上维护的那个差分数组 \(t[]\)

它的前缀和 \(\sum^x_{i=1}t[i]\) 就是 \(a[x]\) 的增加的值。

所以也就是说：原序列\(a\)中前缀和\(sum[1,x]\)的总增加量就是:

上式又等于：

看一下最终的这个柿子。

也就是说，我们如果要维护原序列中前缀和的“增量”

我们只需要在树状数组上维护两个差分数组。一个维护 \(t[i]\) ，一个维护 \(i\times t[i]\) 然后就可以维护了。

至于前缀和怎么维护？
很简单。

我们知道树状数组是一个能维护动态前缀和的数据结构。

而我们这里把动态的“增量” 单独提出来维护。

所以我们可以直接在读入原数组的时候维护一下原始的前缀和。

然后询问动态前缀和的时候就直接用前缀和加上增量就可以了。

区间询问同理。

维护异或前缀和的树状数组

• P5057 [CQOI2006]简单题

这题是一个典型例子。

当然lg上有四道和它基本一样的重题，可以自行到讨论区寻找。

这道题要你维护一个01序列。支持查询某个数的值。还有对于 \([l,r]\) 中的0，1，让0变成1,1变成0。

很简单。

看到01序列我们第一时间就应该想到 异或。

因为 \(0/1 \operatorname{xor} 1\) 就是给这个数取反。

根据异或本身具有的运算性质。

我们可以直接给异或维护前缀和。

所以这道题直接维护异或的区间加和单点查就好。

code：

void modify(int x){
    for(register int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){
        t[i]^=1;
    }
}
int sum(int x){
    int res=0;
    for(register int i=x;i;i-=lowbit(i)){
        res^=t[i];
    }return res;
}


//-------

//in function main():

    read(n),read(q);
    while(q--){
        int op,l,r;read(op);
        if(op==1){read(l),read(r),modify(l),modify(r+1);}
        else{read(l),write(sum(l))ent;}
    }

统计数在区间中的出现次数的树状数组

设 $t[i] $表示 \(i\) 在集合 \(A\) 中出现的次数。

那么 \(\sum^r_{i=l}t[i]\) 就是范围 \([l,r]\) 中 有多少个数。同理用树状数组维护即可。

（上面的那题的4道重题就要用这个）

例题：

• P3368 【模板】树状数组 2

• P3374 【模板】树状数组 1

• P2068 统计和

• P2357 守墓人

因为这个东西的原理并不会拿出来考什么的（也没啥可以考的）

而且其实它能做的，线段树都能做（只是BIT常数小可以用来优化某些题）。

所以就写的比较粗糙（。