设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上有定义,如果,\(\forall \epsilon > 0, \exist \delta >0\),使得对于在区间 \(I\) 上的任意两点 \(x_1, x_2\),当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时,恒有 \(|f(x_1) - f(x_2)|<\epsilon\),则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续
参数 \(\delta\) 仅与 \(\epsilon\) 有关,与所选取的任意两点 \(x_1, x_2\) 无关,即 \(\delta = \delta(\epsilon)\)
连续性:
\(\forall \epsilon > 0, \forall x > 0,\) 要 \(|\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{(x+\delta)}| < \epsilon\), 只需
\[\begin{cases} -\epsilon < \dfrac{\delta}{x(x+\delta)} < \epsilon & \to \dfrac{1}{x} - \epsilon < \dfrac{1}{x+\delta} < \dfrac{1}{x} + \epsilon\\ x+\delta > 0 \end{cases} \]不一致连续:
对任意 \(\epsilon, x_1, \delta\) 满足
\[\dfrac{\delta}{x_1(x_1+\delta)} < \epsilon \]只需将 \(x_1\) 取小,即可使不等式不恒成立,故不一致连续
设 \(S\) 为 \(R_n\) 上的点集,如果 \(R_n\) 中的一组开集 \(A={U_α:α∈A}\) 满足 \(\{~U_α\) 的并 \(\} ⊇ S\),那么称集族 \({U_α}\) 为 \(S\) 的一个开覆盖
而被覆盖区域中任意一点 \(P\) 都能找到在开覆盖中找到一个集合 \(S\) 使得 \(P∈S\)
设 \(H\) 是闭区间 \([a,b]\) 的一个(无限)开覆盖,则必可以从 \(H\) 中选择有限个开区间来覆盖 \([a,b]\)
为了说明 \((0, 1)\) 不一定能被有限覆盖,只需要找到它的一个开覆盖,其中每个开集缺一不可
为了找到这样一个开覆盖,我们可以以这样的思路构造:其中的每个开集都有一个点只有它有,或者一段区间只有它有
\[A = \{(a_i, \dfrac{2}{\pi}\arctan i)~|~i = 1,2,..\land a_1 = 0 \land a_{i+1} = \dfrac{2}{\pi}\arctan i\} \]选 \(\dfrac{2}{\pi}\arctan\) 的原因是要找到一个单增且收敛的函数,使得随着 \(i\) 的递增,这个函数收敛到 \(1\)
通过 \(A\) 可以构造出一个集合簇 \(B\)
\[B = \{(a_i, a_{i+2})~|~i = 1, 2,..\} \]这样,因为 \(A\) 中区间两两不相交,可知点 \(a_{i+1}\) 仅仅 \(\in (a_i, a_{i+2})\),开覆盖 \(B\) 即为所求
另一个构造思路
\[B = \{(\dfrac{1}{n}, 1- \dfrac{1}{n})~|~i = 3, 4, ..\} \]这个构造更纯粹地说明了开集和闭集的区别
去掉有限个区间,还剩无穷个区间
证明: 反证,设 \([a, b]\) 不能被有限覆盖
二分 \([a, b]\) 得到 \([a_1, b_1]\) 和 \([a_2, b_2]\),这两个区间至少有一个不能被有限覆盖
这样得到一个闭区间套 \(\{[a_n, b_n]\}\),最终逼近一个实数 \(c\),由开覆盖定义可知,对任意开覆盖 \(A\),必存在 \(S\in A\),使得 \(c\in S\)
\(S\) 是开集,所以 \(c\) 是 \(S\) 的一个内点,那么必存在 \(N\) 使得 \(\forall n > N, [a_n, b_n] \sub S\),于是 \([a_n, b_n]\) 被有限覆盖,矛盾
闭区间上的连续函数必一致连续
教材上是用致密性定理反证,这里用有限覆盖构造 δ
若 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续,对于给定 \(\epsilon\), 需要求得一个 \(\delta\) 使得 \(\forall x_1, x_2\) 满足 \(x_2 - x_1 < \delta\) 且 \(x_2 > x_1\) 有
\[-\epsilon < f(x_2) - f(x_1) < \epsilon \]由于 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续,故 \(\forall x \in [a, b]\),存在 \(U(x, \delta_x)\) 使得 \(\forall x' \in U(x, \delta_x)\) 有
\[|f(x') - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2} \]故若 \(x_1, x_2 \in U(x, \delta_x)\),则
\[\begin{aligned} |f(x_1) - f(x_2)| \le& |f(x_1) - f(x)| + |f(x_2) - f(x)| \\ <& \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{aligned} \tag{1} \]因此我们只需要保证任意的 \(x_1, x_2\) 满足题意总能落在某个点的邻域中
存在开覆盖 \(\{(x-\dfrac{\delta_x}{2}, x+ \dfrac{\delta_x}{2})~|~x\in [a, b]\}\)
由有限覆盖定理,存在子有限开覆盖 \(\{(x_k-\dfrac{\delta_{x_k}}{2}, x_k+ \dfrac{\delta_{x_k}}{2})~|~k = 1, 2, .., m\}\)
注意,这里必须要取有限开覆盖,才能取最小值 否则不一定取到一个实数,如 min({1/n})
取 \(\delta = \min(\delta_{x_k})\),接下来证明 \(x_1, x_2\) 总是能落到同一个邻域 \(U(x, 2\delta)\) 中
由开覆盖定义,存在邻域使得 \(x_1 \in U(x, \delta)\)
因为 \(|x_1 - x_2| < \delta\), 所以 \(x_2 \in U(x, 2\delta)\)
于是由 \((1)\) 可知 \(f\) 在 \([a, b]\) 上一致连续
\(E\) 是 \(\R\) 的子集,\(f\) 在 \(E\)上有定义,\(f\) 在 \(E\) 一致连续的充要条件是对任意满足 \(\lim (x_n - y_n) = 0\) 的序列 \(\{x_n\}\sub E\) 和 \(\{y_n\}\sub E\),都有
\[\lim (f(x_n) - f(x_y)) = 0 \]我还没看致密性原理,看完再回来看看这个