弗洛伊德判环，找环起点，找环长的算法

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  • 有这样一种问题……
  • 弗洛伊德判环

有这样一种问题……

对于一种特殊但是常见的有向图：每个点都有一条出边（出度为0）。我们想要掌握它的结构，怎么办呢？很容易发现，这样的图一定是这样的：

而我们单看某一个起点出发能到达的子图时，我们会发现这是一个‘ρ’形的图；即“一条链”接上“一个环”的形状。
当我们想要描述这个‘ρ’形图的结构时，自然便会引入三个参数：“环长”，“链长”，“链末端/环起点”。
如果空间足够我们糟蹋，那开个数组存储每个点是否被访问过，或者深度之类的信息，自然很好处理出这三个参数的值。但是能这样做的前提有二：一、点的数目不会大到我们的空间承受不了的程度（因为经过的点都必须记录下它的信息）；二、点的编号映射到数组的成本能够承受（具体一点比如说点的编号不大）。
当我们在只有“比较两点是否是同一点”和“询问一个点的出边”这两种操作被允许的情景下，如何找到刚刚我们想求的参数呢？

弗洛伊德判环

设入环前，连的长度为\(m\)，环长为\(n\)
只用一个指针（指用来指示点编号的变量），能记录的信息很有限。
那么考虑两个指针，以不同的速度从起点出发：一个指针（记为tortoise，慢指针）每次经过一个出边指向下一个点；而另一个指针(记为hare，快指针)每次经过两个出边指向下下个点。
这样一来，当慢指针从起点出发，经过\(m\)条边，刚刚进入环时；快指针已经经过了\(2m\)条边；
记环起点为\(0\)点，\(0\)点的出边到达的点为\(1\)点，接下来\(2\)点，\(3\)点，一直到\(n-1\)点，以此类推……
那么慢指针这时到达了0点，而快指针则到达了\((m \mod n)\)点，而快指针到慢指针的距离为\((-m \mod n)\)；因为接下来慢指针每走一步，两个指针之间都会缩短距离\(1\)，所以当快慢指针相遇时指针的位置正好会在\((-m\mod n)\)。
那么必然，慢指针再走m步，它便会回到0点；因为\((m+(-m)) \mod n \equiv 0\)
因此，我们只需要在两者相遇时把快指针放回起点，并把它的速度调整到和慢指针一致（都是每次经过一条出边）。那么m次之后，他们必然会相遇于环起点。（即\(0\)点）
记录期间指针的移动次数，便可以计算出m
这时候，一个指针不动，另一个指针绕环一周，通过记录相遇步数，便可以得出环的长度。