Java教程

数分题集01

本文主要是介绍数分题集01,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

本题来源于哈尔滨工业大学第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题一。

\[\rho(\xi)=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{y}{(\xi-x)^{2}+y^{2}} \]

\[f(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}|\xi-x|^{\frac{1}{2}} \rho(\xi) \mathrm{d} \xi \]

其中 \(\xi,x\) 为任意实数, \(y\) 为正实数. 求 \(f (x)\) 的表达式.

Solution: 本题是含绝对值的广义定积分,首先应该分区间去掉绝对值

\[\begin{align*} f\left( y \right) =&\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^x{\left( x-\xi \right)}^{\frac{1}{2}}\frac{y}{\left( \xi -x \right) ^2+y^2}\text{d}\xi +\frac{1}{\pi} \int_{x}^{+\infty }(\xi-x)^{\frac12}\frac{y}{\left( \xi -x \right) ^2+y^2}\text{d}\xi\\ \xlongequal[]{t=\xi-x}&\frac{1}{\pi}\int _{-\infty }^0(-t)^{\frac12}\frac{y}{t^2+y^2}{\rm d}t +\frac1\pi \int _{0}^{+\infty}t^{\frac12}\frac{y}{t^2+y^2}{\rm d}t\\ =&\frac{2}{\pi} \int _{0}^{+\infty}t^{\frac12}\frac{y}{t^2+y^2}{\rm d}t \xlongequal[]{t=k^2}\frac{4y}{\pi}\int _{0}^{+\infty}\frac{k^2}{k^4+y^2}{\rm d}k \end{align*} \]

继续换元有

\[\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} \frac{k^{2}}{k^{4}+y^{2}} \mathrm{~d} k \xlongequal[]{k^{2}=y \tan \theta}&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{y \tan \theta}{y^{2} \sec ^{2} \theta} \cdot \frac{\sqrt{y} \sec ^{2} \theta}{2 \sqrt{\tan \theta}} \mathrm{d} \theta \\ =&\frac{1}{2 \sqrt{y}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{\frac{1}{2}} \theta \cdot \cos ^{\frac{1}{2}} \theta \mathrm{d} \theta \end{align*} \]

利用Beta函数及余元公式易得

\[\begin{aligned} f(y) &=\frac{4 y}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{k^{2}}{k^{4}+y^{2}} \mathrm{~d} k \\ &=\frac{4 y}{\pi \cdot 2 \sqrt{y}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{\frac{1}{2}} \theta \cdot \cos ^{\frac{1}{2}} \theta \mathrm{d} \theta \\ &=\frac{\sqrt{y}}{\pi} B\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}\right)=\sqrt{2 y} \end{aligned} \]

从而得到

\[f(x)=\sqrt{2x} \]

\(\square\)

这篇关于数分题集01的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!