求a^b % c 的值。其中a, b, c 是整数，且 0 < a，c < 10⁹，0 < b < 10¹⁸

暴力算法 O(b)

long long ans = 1;
for (long long i = 1; i <= b; i++)
{
    ans *= a;
}
ans % c;

优化（暴力算法）

根据取模运算的性质，(a * b) % p = [(a % p) (b % p)] % p

所以原式（a · a · a ····· · a）% c ，每乘一次都取模一次，结果不变

long long ans = 1;
for (long long i = 1; i <= b; i++)
{
    ans *= a;
    ans %= c;
}
ans % c;

但复杂度仍然为O(b)

继续优化（快速幂）

计算3¹⁰ 时，手算为—— 3¹⁰ = (3²)⁵ = 9⁵ = 9 * 9⁴ = 9 * (81)² = 9 * (81²)¹

即：①指数为偶数时：指数除以2，底数平方；②指数为奇数时：ans * 底数 *（ 指数除以2，底数平方）

#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll fast_power(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ans = 1;  //初值为1，  因为后续做的是乘法 
    a %= p;
    while(b) // 在b不为0时，做b的奇偶性判断 
    {
        if (b % 2 == 1) //若为奇数  这里可以改成 (b & 1), 在二进制下，奇数最后一位 1 & 1 = 1；偶数最后一位 0 & 1 = 0 
        {
            ans = (ans * a)% p;
        }
        a = (a * a) % p;
        b /= 2;  //等价 b >> 1;  二进制中就是右移一位 
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, b, p;
    cin >> a >> b >> p;
    cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << fast_power(a, b, p);
}