第十六章 图

文章目录

• 第十六章 图
• 一、图
• • 1.介绍
  • 2.基本术语
  • 3.邻接矩阵
  • 4.邻接表和逆邻接表
  • 5.十字链表
• 二、深度优先遍历
• 三、广度优先遍历
• 四、代码实现

一、图

1.介绍

图相较于前面的数据结构可能接触的不多，但是在实际的应用场景中却经常出现。比如交通中的线路图，常见的思维导图都可以看作是图的具体表现形式

图（Graph），是一种比树更为复杂的数据结构。树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫结点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子

2.基本术语

在图中，最基本的单元是顶点（vertex），相当于树中的节点。顶点之间的关联关系，被称为边（edge）

在有些图中，每一条边并不是完全等同的。比如刚才地铁线路的例子，从A站到B站的距离是3公里，从 B 站到 C 站的距离是 5 公里…这样就引入一个新概念：边的权重（Weight）。涉及到权重的图，被称为带权图（Weighted Graph）

还有一种图，顶点之间的关联并不是完全对称的，顶点之间的边有方向的区分，这种带有方向的图被称为有向图，而无方向区分的就叫无向图

图用抽象的图线表示很容易，但是要在内存中存储图却不是一件易事。图在内存中的存储方式有很多种，包括邻接矩阵、邻接表、逆邻接表和十字链表

3.邻接矩阵

拥有n个顶点的图，它所包含的连接数量最多是 n（n-1）个。因此，要表达各个顶点之间的关联关系，最清晰易懂的方式是使用二维数组（矩阵）

如图所示，顶点0和顶点1之间有边关联，那么矩阵中的元素 A[0][1] 与 A[1][0] 的值就是 1 .顶点 1 和顶点 2 之间没有边关联，那么矩阵中的元素 A[1][2] 与 A[2][1] 的值就是 0

像这样表达图中顶点关联关系的矩阵，就叫做邻接矩阵

需要注意的是，矩阵从左上到右下的一条对角线，其上的元素值必然是 0。这样很容易想明白：任何一个顶点与它自身是没有连接的

同时，无向图对应的矩阵是一个对称矩阵，V0 和 V1 有关联，那么 V1 和 V0 也必定有关联，因此 A[0][1] 和 A[1][0] 的值一定相等

那么，有向图的邻接矩阵又是什么样子呢？

从图中可以看出，有向图不再是一个对称矩阵。从 V0 可以到达 V1，从 V1 却未必能到达 V0，因此 A[0][1] 和 A[1][0] 的值不一定相等

邻接矩阵的优点：简单直观，可以快速查到一个顶点和另一顶点之间的关联关系

邻接矩阵的缺点：占用了太多的空间。试想，如果一个图有1000个顶点，其中只有10个顶点之间有关联（这种情况叫做稀疏图），却不得不建立一个1000X1000的二维数组

4.邻接表和逆邻接表

在邻接表中，图的每一个顶点都是一个链表的头节点，其后连接着该顶点能够直接达到的相邻顶点

很明显，这种邻接表的存储方式，占用的空间比邻接矩阵要小得多

逆邻接表顾名思义，和邻接表是正好相反的。逆邻接表每一个顶点作为链表的头节点，后继节点所存储的是能够直接达到该顶点的相邻顶点

邻接表适合查询该顶点能直连哪些其他顶点，逆邻接表适合查询哪些其他顶点能直连该该顶点

但是又出现问题了，一张图要维护两张表，还是有点麻烦。因此还有一种表示图的方法，把邻接表和逆邻接表结合在一起，就是十字链表

5.十字链表

如图所示，十字链表的每一个顶点，都是两个链表的根节点，其中一个链表存储着该顶点能到达的相邻顶点，另一个链表存储着能到达该顶点的相邻节点

不过，上图只是一个便于理解的示意图，我们没有必要把链表的节点都重复存储两次。在优化之后的十字链表中，链表的每一个节点不再是顶点，而是一条边，里面包含起止顶点的下标

因此，优化之后的十字链表，是下面这个样子

图中每一条带有蓝色箭头的链表，存储着从顶点出发的边。每一条带有橙色箭头的链表，存储着进入顶点的边

二、深度优先遍历

深度优先遍历简称DFS（Depth First Search），类似二叉树的前序、中序和后序遍历

1. 从初始访问顶点出发，初始访问顶点可能有多个邻接顶点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接顶点，然后再以这个被访问的邻接顶点作为初始顶点，访问它的第一个邻接顶点。可以这样理解：每次都在访问完当前顶点后首先访问当前顶点的第一个邻接顶点
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个顶点的所有邻接顶点进行横向访问
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

算法步骤

1. 访问初始顶点 v，并标记 顶点 v 已访问
2. 查找顶点 v 的第一个邻接顶点 w
3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则返回到第 1 步，将从 v 的下一个顶点继续
4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归，即把 w 当作另一个 v，然后进行步骤 123
5. 查找顶点 v 的 w 邻接顶点的下一个邻接顶点，转到步骤 3

三、广度优先遍历

广度优先遍历简称BFS（Breadth First Search）类似二叉树的层次遍历

广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的顶点的顺序，以便按这个顺序来访问这些顶点的邻接顶点

算法步骤

1. 访问初始顶点 v 并标记顶点 v 为已访问
2. 顶点 v 入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束
4. 将队头顶点 u 出队列
5. 查找顶点 u 的第一个邻接顶点 w
6. 若顶点 u 的邻接顶点 w 不存在，则转到步骤 3 。否则循环执行以下三个步骤：
   若顶点 w 尚未被访问，则访问顶点 w 并标记为已访问
   顶点 w 入队列
   查找顶点 u 继邻接顶点 w 后的下一个邻接顶点 w，转到步骤 6

四、代码实现

package com.sisyphus.graph;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

/**
 * @Description: 图$
 * @Param: $
 * @return: $
 * @Author: Sisyphus
 * @Date: 7/27$
 */
public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;   //存储顶点集合
    private int[][] edges;  //存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges; //表示边的数目
    //定义一个数组 boolean[]，记录某个顶点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {

        String[] VertexValue = {"A","B","C","D","E"};
        //创建图对象
        int n = VertexValue.length;  //顶点的个数
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环地添加顶点
        for (String vertex : VertexValue) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0,1,1);
        graph.insertEdge(0,2,1);
        graph.insertEdge(1,2,1);
        graph.insertEdge(1,3,1);
        graph.insertEdge(1,4,1);

        //显示
        graph.showGraph();

        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();
        System.out.println();
        System.out.println("广度遍历");
        graph.bfs();
    }

    //构造器
    public Graph(int n){
        //初始化矩阵和 vertextList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph(){
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到第一个邻接顶点的下标 w
    public int getFirstNeighbor(int index){
        for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
            if (edges[index][i] > 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接顶点的下标来获取下一个邻接顶点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
        for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
            if (edges[v1][i] > 0){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历
    //i 第一次就是 0
    public void dfs(boolean[] isVisited, int i){
        //首先我们访问该顶点，输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将顶点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找顶点 i 的第一个邻接顶点 w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while(w != -1){ //说明有
            if (!isVisited[w]){
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果 w 顶点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对 dfs 进行一个重载，遍历我们所有的顶点，并进行 dfs
    public void dfs(){
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的顶点，进行 dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //对一个顶点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i){
        int u;  //表示队列的头顶点对应下标
        int w;  //邻接顶点 w
        //队列，记录顶点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问顶点，输出顶点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将顶点加入队列
        queue.addLast(i);

        while(!queue.isEmpty()){
            //取出队列的头顶点下标
            u = (Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接顶点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1){    //找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]){
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以 u 为前驱，找 w 后面的下一个邻接顶点
                w = getNextNeighbor(u,w);   //体现出我们的广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有顶点，都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]){
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //图中常用的方法
    //返回顶点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //返回边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回顶点 i (下标)对应的数据
    public String getValueByIndex(int i){
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回 v1 和 v2 的权值
    public int getWeight(int v1, int v2){
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入顶点
    public void insertVertex(String vertex){
        vertexList.add(vertex);
    }

    //添加边
    /**
     *
     * @param v1        表示点的下标即是第几个顶点
     * @param v2        表示第二个顶点对应的下标
     * @param weight    表示权值
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}