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【物理】天体运动专题

本文主要是介绍【物理】天体运动专题,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

天体运动

牛顿说过 有种东西叫万有引力

我因为你开始相信 那些大道理

万有引力

牛顿提出的万有引力定律:

\[F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2} \]

式子中的 \(G\) 是万有引力常量,卡文迪许测得:\(G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2\cdot kg^{-2}\)。

开普勒三大定律

  1. 轨道定律:轨道为椭圆
  2. 面积定律:相同时间内连线扫过面积相等(本质为角动量守恒 \(L=mvr\))
  3. 周期定律:\(a^3\) 与 \(T^2\) 成正比

万有引力与重力

容易推出:

\[gR^2=GM \]

引理势能

定义无穷远出引理势能为 \(0\),根据做功可以推出引力势能公式。容易发现,\(E\) 是负值。

\[E=-\dfrac{GMm}{r} \]

一般的天体运动满足机械能守恒,也就是动能与引力势能的和相等。容易据此列式。

圆周运动

当天体在圆周运动时,一部分量的关系如下:

\[a=G\dfrac{M}{r^2} \]

\[v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \]

\[w=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}} \]

\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}} \]

容易发现,当 \(a\) 增大时,\(w\) 增大,\(v\) 增大,\(r\) 减小,\(T\) 减小。这些量都与卫星质量 \(m\) 无关。

人造卫星的椭圆圆心与地心重合。

宇宙速度

  • 第一宇宙速度:卫星发射的最小速度 \(v_1=\sqrt{gR}=7.9\text{ km/s}\)
  • 第二宇宙速度:脱离地球引力,又称脱离速度 \(v_2=\sqrt{2} v_1=11.2\text{ km/s}\)
  • 第三宇宙速度:脱离太阳引力,又称逃逸速度 \(v_3=16.7\text{ km/s}\)

双星系统问题

显然 \(w_1=w_2\)。

对两颗星分别分析:以 \(m_1\)为例,\(\dfrac{Gm_1m_2}{L^2}=m_1\dfrac{4\pi^2}{T^2}r_1\)

条件:\(r_1+r_2=L\)

可以等效为重心有一颗质量为 \(m'\) 的星体,列得 \(F=\dfrac{Gm_1m'}{r_1^2}\)

椭圆轨道

椭圆轨道的焦点之一是地心。

在椭圆轨道上,假设左焦点是中心天体,考虑左右两个顶点,满足机械能守恒与角动量守恒。故:

\[E=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r} \]

\[L=mvr \]

根据两根为 \(r1=a-c\),\(r2=a+c\)。用韦达定理即可得:

\[E=-\dfrac{GMm}{2a} \]

\[v=\sqrt{2GM(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{2a})} \]

上述两个公式经常使用,加快运算,我暂且称为 「椭圆轨道上的能量公式」和「椭圆轨道上的速度公式」。

设椭圆的上顶点为 \(\text{D}\)。根据上面的公式易得:

\[v_D=\sqrt{\dfrac{GM}{a}} \]

实际解题时:

  • 最常用的方法是找到两个特殊点 \(\text{A B}\),代入机械能守恒与角动量守恒。如果方便可以直接套用上方公式,加快解题速度。

  • 有时考虑可以椭圆的几何意义,求出最值。

  • 对于两个物体在某轨道上运行后分开,各自分到不同轨道上的类型题目:

    • 对于初始轨道,列圆周运动向心力: \(F_引=m \dfrac{v^2}{r}\) ①
    • 对于脱离瞬间,列动量守恒: \(m_总v_0=m_1v_1+m_2v_2\) ②
    • 对于脱离之后轨道,对两个物体分别列 「椭圆轨道上的能量公式」:\(-\dfrac{GMm}{2a}=E_p+E_k\) ③
    • 对于两次或三次周期,列开普勒第三定律:\(\dfrac{T_1^2}{r_1^3}=\dfrac{T_2^2}{r_2^3}\) ④
  • 对于一般的变轨问题(例如加速,由圆周变为椭圆),也可套用上面的公式 ①③④。

  • 如果给定是 \(r,T\) 而非 \(M\),考虑通过 \(\dfrac{GMm}{r^2}=m \dfrac{4\pi^2}{T^2}{r}\) 替代 \(GM\),同时 \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\)。

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