第6章-计算机的运算方法

6.1-无符号数和有符号数

6.1.1-无符号数

没有符号的数，每一位均可用来存放数值。

6.1.2-有符号数

1-机器数与真值

符号数字化的数称为机器数，而带正负号的数称为真值。

0表示正号，1表示负号。

2-原码表示法

符号位为0表示正数，符号位为1表示负数。又被称为带符号的绝对值表示。

整数原码的定义为：

小数原码的定义为：

原码的0有两种表示形式。

3-补码表示法

（1）补数的概念

首先考虑数轴上正负数的几何意义，显然正整数n以看做从某一点（原点）向前走n步，而负整数n可以看做向后走n步，现在考虑下面的8进制圆盘（一个有限的数轴首尾相接），从1走到3，显然有两种走法，+2（顺时针两步）或-6（逆时针6步），可见，+2和-6在这个数轴上的意义是等效的，则称+6为-2的模8的补数。

利用补数，我们就将负数转化到了正数，这样只需利用加法器便能实现加减运算，简化了处理器的逻辑设计。

结论：

• 一个负数可以用它的正补数来代替，而这个正补数可以用模加上负数本身求得。
• 一个正数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数。
• 正数的补数等于正数本身。

（2）补码的定义

整数补码的定义为：

小数补码的定义为：

补码的0只有一种表示形式。

-1本不属于小数范围，但却有-1的补码存在，其在原码中是不存在的。

当模数=4时，形成了双符号位补码，又称变形补码，在阶码运算和溢出判断中有特殊作用。

补码与原码相互转化：

对于四位二进制负整数x=x1x2x3x4，考察其求补码的过程：

[ x ] 补 = 2 5 + x = 100000 + x = 11111 + 00001 − x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 1 − x 2 − x 3 − x 4 − + 00001 [x]_补 =2^5+x=100000+x=11111+00001-x_1x_2x_3x_4=1\overset{-}{x_1}\overset{-}{x_2}\overset{-}{x_3}\overset{-}{x_4}+00001 [x]补​=25+x=100000+x=11111+00001−x1​x2​x3​x4​=1x1​−​x2​−​x3​−​x4​−​+00001
这就是我们熟知的由原码求补码的过程：符号位不变，数值位按位取反，末尾+1。
这一规则同样适用于已知X补求X原。

4-反码表示法

整数反码的定义为：

小数反码的定义为：

反码的0也有2种表示形式。

由[x]_补求[-x]_补：连同符号位在内，每位取反，末位+1。

5-移码表示法

引入移码的目的：为了能从机器数直观地看出真值的相对大小。

移码常用于表示浮点数的阶码。

移码的定义为：

移码中0的表示也是唯一的。

小数没有移码。

最小真值的移码全为0。

补码和移码的相互转化：符号位取反。

6.2-数的定点表示和浮点表示

6.2.1-定点表示

定点数是指小数点以约定的位置给出，小数点位置在最前面的称为小数定点机，小数点位置在最后面的称为整数定点机。

6.2.2-浮点表示

浮点数：小数点位置可以浮动的数。

浮点数表示成：
N = S × r j N=S{\times}r^j N=S×rj
S为尾数，j为阶码，r为基值（2，4，8，16……）。

规定尾数用纯小数表示，同时尾数最高位=1的浮点数称为规格化数（精度最高）。

1-浮点数的表示形式

2-浮点数的表示范围

• 浮点数阶码大于最大阶码时，称为上溢，此时机器停止运算，进行中断溢出处理。
• 浮点数阶码小于最小阶码时，称为下溢，此时机器将尾数各位强置为0，按机器0处理。

3-浮点数的规格化

r越大，可表示的浮点数范围越大，而且能表示的数的个数越多，但精度下降。

6.2.3-定点数和浮点数的比较

6.2.4-举例

判为机器0的条件：

• 尾数=0，不论其阶码为何值。
• 阶码≤它所能表示的最小数，不论其尾数为何值。

当阶码用移码表示，尾数用补码表示，则机器零=“000…0”，有利于机器判0电路的实现。

6.2.5-IEEE754标准

下面给出一个查看浮点数二进制表示的工具（没有经过完整测试）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

void showFloatBin(float f);
void showDoubleBin(double d);

int main(int argc, char* argv[]) {
    if (argc != 3) {
        printf("input error\n");
        return 0;
    }
    if (!strcmp(argv[1], "f")) {
        float f = atof(argv[2]);
        showFloatBin(f);
    } else if (!strcmp(argv[1], "d")) {
        double d = atof(argv[2]);
        showDoubleBin(d);
    } else {
        printf("input error\n");
    }
    return 0;
}

void showFloatBin(float f) {
    unsigned int mask = 0x80000000;
    unsigned int f_puppet;
    memcpy(&f_puppet, &f, 4);
    for (int i = 0; i < 32; ++i) {
        if (f_puppet & mask) {
            printf("1");
        } else {
            printf("0");
        }
        if (i == 0 || i == 8)
            printf(" ");
        f_puppet <<= 1;
    }
    printf("\n");
}

void showDoubleBin(double d) {
    unsigned long long mask = 0x8000000000000000;
    unsigned long long d_puppet;
    memcpy(&d_puppet, &d, 8);
    for (int i = 0; i < 64; ++i) {
        if (d_puppet & mask) {
            printf("1");
        } else {
            printf("0");
        }
        d_puppet <<= 1;
        if (i == 0 || i == 11)
            printf(" ");
    }
    printf("\n");
}

程序效果：

daniel@vostro:~/Project/temp$ ./showBin f -178.125
1 10000110 01100100010000000000000
daniel@vostro:~/Project/temp$ ./showBin f 178.125
0 10000110 01100100010000000000000

6.3-定点运算

6.3.1-移位运算

1-移位的意义

2-算数移位规则

硬件实现：

3-算术移位和逻辑移位的区别

• 有符号数：算术移位
• 无符合数：逻辑移位

为了避免算术左移时最高数位丢1，可以采用带进位Cy的移位：

6.3.2-加法与减法运算

1-补码加减运算的基本公式

加法：

减法：

符号位和数值部分一起参与运算，并且将符号位产生的进位自然丢掉即可。

2-溢出判断

（1）用一位符号位判断溢出

overflow=符号位产生的进位^最高有效位产生的进位

（2）用两位符号位判断溢出

• 两位符号位不同时，溢出
• 否则，无溢出

第一位的符号永远代表真正的符号。

3-补码定点加减法所需的硬件配置

4-补码加减运算控制流程

6.3.3-乘法运算

1-分析笔算乘法

2-笔算乘法的改进

运算过程：

• 乘法运算可用加法和移位来实现，2个4位数相乘，总共需要进行4次加法运算和4次乘法运算。
• 由乘数的末位值确定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位，形成新的部分积；同时，乘数也右移一位，由次低位作为新的末位，空出最高位存放部分积的最低位。
• 每次做加法运算时，被乘数仅与原部分积的高位相加，其低位被移至乘数所空出的高位位置。

3-原码乘法

乘积的符号位由两个操作数的符号位异或得到。

（1）原码一位乘运算规则

看着挺抽象，做道题就懂了：

结果是0.1011_0110

（2）原码一位乘所需的硬件配置

（3）原码一位乘控制流程

（4）原码两位乘

用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可以提高运算速度。

（了解即可，应该不会考）

4-补码乘法

（1）补码一位乘运算规则

1. 被乘数x符号任意，乘数y符号为正
   [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ⋅ [ y ] 补 = [ x ] 补 ⋅ y [x·y]_补=[x]_补·[y]_补=[x]_补·y [x⋅y]补​=[x]补​⋅[y]补​=[x]补​⋅y
   当乘数y为正数，不管被乘数x的符号如何，都可按原码乘法的规则运算。这里的加和移位必须按补码的规则计算。

2. 被乘数x符号任意，乘数y符号为负
   [ x ⋅ y ] 补 = [ x ] 补 ( 0. y 1 y 2 . . . y n ) + [ − x ] 补 [x·y]_补=[x]_补(0.y_1y_2...y_n)+[-x]_补 [x⋅y]补​=[x]补​(0.y1​y2​...yn​)+[−x]补​
   把乘数的补码y补去掉符号位，当成一个正数与x相乘，然后加上[-x]补进行校正，也称校正法。

3. 被乘数x和乘数y符号均任意（Booth算法）

   符号位参与运算，运算的数均以补码表示；

   被乘数和部分积取双符号位，初值=0，乘数可取单符号位。

   乘数末尾增设附加位yn+1=0；

   根据(yn,yn+1)的取值来确定操作：
   

   移位按照补码右移规则进行；

   按照上述算法进行n+1步，但最后一步不再移位。

一个例子：

（2）补码比较法(Booth算法)所需的硬件配置

（3）补码比较法(Booth算法)控制流程

（4）补码两位乘

提高运算速度，了解即可。

6.3.4-除法运算

1-分析笔算除法

2-原码除法

商符由两个符号位异或求得，商值由两数绝对值相除得。

在小数定点机中，规定0<被除数<=除数，否则产生溢出。

（1）恢复余数法

当余数为负时，需要加上除数，将其恢复为原来的余数。

（2）加减交替法(不恢复余数法)

举个例子便知：

（3）原码加减交替法所需的硬件配置

（4）原码加减交替法控制流程

3-补码除法

（1）补码加减交替法运算规则

比较被除数和(余数)和除数的大小：

商值的确定：

商符是在求商值的过程中自动形成的。

商的符号还可以判断商是否溢出。

新余数的确定：

举个例子：

（2）补码加减交替法所需的硬件配置

与原码的配置相同，但是触发器S可以省略，因为符号位在运算过程中确定。

（3）补码加减交替法的控制流程

6.4-浮点四则运算

6.4.1-浮点加减运算

步骤：对阶-尾数求和-规格化-舍入-溢出判断。

1-对阶

小阶向大阶看齐：阶数小的尾数向右移位，每右移一位，阶码+1。

尾数右移时可能会发生数码丢失，影响精度。

2-尾数求和

3-规格化

尾数的最高数值位与符号位不同时，即为规格化形式。对于S<0，有两种特殊情况：

• S=-1/2，其不是规格化的数（对于补码而言）。
• S=-1，是规格化的数。

（1）左规

（2）右规

4-舍入

5-溢出判断

尾数结果出现01.xxx...x或10.xxx...x时，并不表示溢出，只有将此数右归后，根据阶码才可以判断运算结果是否溢出。

• 下溢：阶码<-128，机器不做溢出处理，仅把它当做机器0。
• 上溢：阶码>+127，真正溢出，机器要作溢出中断处理。

浮点数的溢出与否由阶码的符号决定。

6.4.2-浮点乘除法运算

略，大纲不要求。

6.4.3-浮点运算所需的硬件配置

由两个定点运算部件组成：

1. 阶码运算部件
2. 尾数运算部件

还需要有判断结果是否溢出的电路等。

6.5-算术逻辑单元

6.5.1-ALU电路

C-1表示最低位的外来进位，Cn+4是向高位的进位。P，G供先行进位使用。

6.5.2-快速进位链

1-并行加法器

2-串行进位链

并行加法器中的进位信号采用串行传递。

3-并行进位链

并行加法器中的进位信号是同时产生的，又称先行进位，跳跃进位等。

（1）单重分组跳跃进位

将n位全加器分为若干小组，小组内的进位同时产生，小组与小组之间采用串行进位，这种进位又有组内并行，组间串行之称。

（2）双重分组跳跃进位