微软和谷歌的几个大佬组织了一个面试刷题群，可以加管理员VX：sxxzs3998（备注CSDN），进群参与讨论和直播

1. 题目

给你一堆n个箱子，箱子宽 w i w_i wi​、深 d i d_i di​、高 h i h_i hi​。箱子不能翻转，将箱子堆起来时，下面箱子的宽度、高度和深度必须大于上面的箱子。实现一种方法，搭出最高的一堆箱子。箱堆的高度为每个箱子高度的总和。

输入使用数组 [ w i , d i , h i ] [w_i, d_i, h_i] [wi​,di​,hi​]表示每个箱子。

示例1:
 输入：box = [[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]]
 输出：6
示例2:
 输入：box = [[1, 1, 1], [2, 3, 4], [2, 6, 7], [3, 4, 5]]
 输出：10

2. 解析

2.1 回溯算法

先想出暴力解法，即以每个箱子为最底下的箱子。然后在余下的箱子中寻找下一个箱子，下一个箱子自然是比前一个要小的，而后再寻找更小的。这就是一个 dfs 的过程。

选择一个箱子作为作为底之后，可以把问题转换为在约束条件下，求其余箱子能叠出的最大高度。可以把子问题的解（以每个箱子为底所能得到的最大高度）缓存下来，以加速计算。另外，可以在维度上进行升序排列，这样当前箱子后面的所有箱子都不可能处于该箱子之上。 所以操作如下：

• 排序（升序）
• 遍历，将各个箱子作为底
• 在剩下的箱子中，以2步骤的箱子为底和约束条件下，寻找合适的箱子，递归重复2，直到所有箱子。计算高度和。
• 在高度和中取最大值。

class Solution {
public:
    int pileBox(vector<vector<int>>& box) {
        sort(box.begin(), box.end(), [](auto& a, auto& b){
            return a[0] < b[0];
        });
        vector<int> cache(box.size(), -1);
        int max_height = 0;
        for(int i = 0; i < box.size(); i++){
            max_height = max(max_height, dfs(box, i, cache));
        }
        return max_height;
    }

    int dfs(vector<vector<int>>& box, int bottom_box_i, vector<int>& cache){
        if(cache[bottom_box_i] != -1){
            return cache[bottom_box_i];
        }
        int ret = 0;
        vector<int> &bottom_box = box[bottom_box_i];
        for(int i = 0; i < bottom_box_i; i++){
            if(small(box[i], bottom_box)){
                ret = max(ret, dfs(box, i, cache));
            }
        }
        ret = ret + bottom_box[2];
        cache[bottom_box_i] = ret;
        return ret;
    }
    
    bool small(const vector<int> &box1, const vector<int> &box2){
        for(int i = 0;i<box1.size();i++){
            if(box1[i] >= box2[i]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};

2.2 动态规划

本题类似于俄罗斯套娃，都属于最长递增子串问题。也就是在一维的数组中找到该数列的递增次序，如下图所示：

最终紫色的序列1,2,3就是最后的最长递增子串。放到这道题来讲，我们先要将三维的排序，对于第一维相同的，就采用第二维的子串递增，如果第二维也相同，那么就找第三维的子串递增序列。下图是一个二维的示例：

所以对于该题的算法操作如下：

• 先将数组按照任何一条边降序重排，目的是为了降低里层循环次数。
• 使用dp一维数组记录以序号 i i i箱子为顶时的最大高度。
• 计算每个箱子 i i i时，在约束条件下，找到所有箱子 k k k（ i i i可以放在 k k k的上面），并计算以k为顶最大高度与 i i i的高度之和，取最大值。
• 所有箱子都操作完后，取dp数组元素的最大值

class Solution {
public:
    int pileBox(vector<vector<int>>& box) {
        sort(box.begin(), box.end(), [](auto& a, auto& b){
            return a[0] < b[0];
        });
        vector<int> dp(box.size(), 0);
        dp[0] = box[0][2];
        int ret = dp[0];
        for(int i = 1; i < box.size(); i++){
            int max_height = 0;
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(small(box[j], box[i])){
                    max_height = max(max_height, dp[j]);
                }
            }
            dp[i] = max_height + box[i][2];
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
    
    bool small(const vector<int> &box1, const vector<int> &box2){
        for(int i = 0;i<box1.size();i++){
            if(box1[i] >= box2[i]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};

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