二叉树

基本概念

树的定义

所以树一定有至少一个节点（没有空树的概念），但是二叉树可以没有节点。虽然这个点无关紧要，但还是提一下。

关系术语

层次术语

例题

首先我们假设这些点都是独立的那么明显有4x3+3x4+2x5+1x2=36个叶子，但是现在他是树，那么我们将这些独立得东西合并，显然，n个合并会减少n-1个叶子（因为合并只能替换叶子），所以36-（3+4+5+2-1）=23，所以叶子的个数为23

二叉树定义

二叉树性质

前两个很好理解，就不说了。
第三个：设度为一的节点数为n1所以叶子的个数为：n0=2xn2+n1-(n1+n2-1)=n2+1;记住这个结论，加快解题速度。
当然用PPT上的证明也可以理解，就是麻烦一点，解释一下PPT上第二个式子：

大部分结点头上都有一个分支连着，除了根节点，所以节点数与分支数的关系为：n-1=分支数，即

来道例题：

直接n0-1=19

特殊二叉树

这个很好理解就是K层的塞满结点（不能再多的树）

就是在满二叉树的基础上，从左往右去掉若干个结点（必须按照顺序，不能越过某一个）

完全二叉树性质

性质5很简单，那就解释一下性质四，n在（2^k-1-1,2^k-1]，即[2^k-1,2^k-1]，所以向下取整后值必为k-1,再加上一个1就是k了。

一大波习题

一个一个来吧，第一题：
100个节点，第一个想法是利用n0=n2+1，先求出层数k,那么从2到k-2之间的都是度为二的，再加上第k层的节点数mod2向下取整得到第k-1层的度为2的节点数。但是这题有更好的方法，还记得那个编号吗，叶子的特点是没有孩子，也就是说叶子的编号乘以二是大于100,那么很明显，51-100都是叶子，共50个。
第二题：第七层可以容下2⁶个，这里明显没有满，所以一共七层，那么总结点书就是，10+前六层的个数（前六层是一个满二叉树）=73，利用上一题的结论叶子数为37，所以n2=37-1=36,进而推出n1=73-37-36=0
第三题：
对的，从完全二叉树定义出发，1到k-2层肯定没有度为1的，k-1层最多一个，k层都是叶子，所以要么一个要么没有，同时这题给了我们一个结论，就是总结点数为偶数的完全二叉树入度为1的个数为1，总结点数为奇数的完全二叉树入度为1的个数为0.
第四题：
两者编号介于[2^k-1,2^k-1]，之间，所以以2为底取对数后向下取整的值是一样都为k-1，考虑这个范围的下面一个，值为k-2，上面一个值为k，所以只要满住以2为底取对数后向下取整的值一样就行。

存储

顺序存储方式

解答一下两个问题：
一.2²⁰-1,2³⁰-1，参考满二叉树结点个数
二

1. 现判断是否是父子关系，若不是进入下一步，
2. 选一个数不断/2向下取整，直到遇到存在的结点，
3. 然后另一个也这样操作，中止条件是比上面得到的数小或相等（相等直接返回）
4. 回到步骤2

链式

第二个问题转化为n1，n0的个数问题就行了
看道习题

有两种情况，一种是第六层是做后一层
第二种是第六层是倒数第二层
第一种情况很简单，也不是节点数最多的。看一下第二种，第六层是满的，加上之前的有2⁶-1个结点，第七层有2⁶-2x5或2⁶-(2x5+1)个结点，所以，最多有2⁶-1+2⁶-2x5个结点。

遍历

每次在中序中找分割点就行了：以第一层为例，前序第一个为A，所以A是根节点，中序中以A为分隔点，左边为左子树部分，右边为右子树部分，而且这两团在前序中肯定是抱团存在的，找出这两团，BCDE，FG，这两团的中序就是分割后的两部分，又回到了刚开始的情形，明显B，F为左右孩子，。。。。

这个简单，更之前的一样，只是这次都是从每团的最后一个找。
还有，为什么只有前序和后序不能确定一棵二叉树，答案很明显，我们可以通过后序每团的最后一个和前序每团第一个确定根节点，我们甚至可以根据抱团的原则，找出那个是左边那团，那个是右边那团，但是抱团会出现歧义（当然如果限定条件的话也许可以画出唯一的二叉树）
比如这个：
有这么多种分割方法（框出来的是左子树）。为什么前面说一定会出现歧义：因为子框和红框这两种必然存在的分类方式就已经可以导致歧义了。

算法实现

练习

（2）不会，先放着
（3）在visit那步加一个计数的就行了。

第一个：限定输出条件就行了，
第二个：跟背包问题（见递归那里）类似，定义一个数组（全局）存待输出的值，再定义一个数（局部）存放入了几个数，不断往左往右试探，遇到叶子就打印数组。
第三个：解答PPT上有，这个递归函数的出口时到达叶子时返回1
return max（fun(T->left),fun(T->right)）+1 //T是当前结点

二叉树构建

二叉树包含数据和结构，数据好说，但是结构难搞。
这里的解决方案是要求用户以前序遍历的结果输入数据


传入当前节点指针的引用用于改变当前的内容（NULL或塞东西）
还有get_root的反回值必须是引用，不然我们没法改变根节点指针的指向。





这个从根节点开始，一个一个来相互补充就行了。

线索二叉树

略，详见视频笔记

树和森林

森林：很多棵树

树的存储

就是把上面的结点位置变了一下，没有结构上的改变，因为上面的本来就是一棵二叉树。

森林存储

为了跟上面做区分，树与数之间用红线相连。

树与森林的遍历

就是前序遍历化完后的二叉树

哈夫曼树

引入

把结点的指针塞给优先队列，然后拿前两个合并一下重新塞回去

这个结论记一下

从根节点往下走，往左记0往右记1，解码的话就是把按照码不断从根节点往下走（0往左，1往右遇到根节点就打印，然后回到根节点）

习题