目录

• 树
• • 树的概念
  • 树的存储与表示
  • 常见的一些树的应用场景
• 二叉树
• • 二叉树的概念
  • 二叉树的性质(特性)
• 二叉树的实现
• • 二叉树添加结点
  • 二叉树的遍历
  • • 广度优先遍历(层次遍历)
    • 深度优先遍历
  • 二叉树由遍历确定一个树

二维

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

树的术语：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；（o的结点的祖先：A,C,G,M）
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类:

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  1. 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

  • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
  • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
  • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
    类似二分查找

  2. 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
  3. B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。
  
  
  

树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。


由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2。

常见的一些树的应用场景

1. xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
2. 路由协议就是使用了树的算法
3. mysql数据库索引
4. 文件系统的目录结构
5. 所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

二叉树的概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

二叉树的性质(特性)

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）如下图：

二叉树添加结点

广度优先的实现方式，队列。
树就是对链表的扩充。
深度是纵向；广度是横向。栈，一边读取；
广度优先：–》 队列：一边进，另一边出，即先进先出。
通过使用Node类中定义三个属性:分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

# 树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点

class Tree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root = None  # 就如链表的头结点

    def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        # 如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        else:
            # queue = []
            # queue.append(self.root)
            queue = [self.root]
            # 对已有的节点进行层次遍历
            while queue:
                # 弹出队列的第一个元素
                cur_node = queue.pop(0)
                if cur_node.lchild is None:
                    cur_node.lchild = node
                    return
                else:
                	# 如果左子树不为空，加入队列继续判断
                	queue.append(cur_node.lchild)
                	
                if cur_node.rchild is None:
                    cur_node.rchild = node
                    return
                else:
                    # 如果右子树不为空，加入队列继续判断
                    queue.append(cur_node.rchild)
	
	# 广度优先遍历(层次遍历)
	def breadth_travel(self):
        """广度遍历：利用队列实现树的层次遍历"""
        if self.root is None:
        	return
        queue = [self.root]   
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(node.elem)
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
      
     # 深度遍历
     def preorder(self, node):
	     """递归实现先序遍历：根结点->左子树->右子树"""
	     if node is None:  # 叶子节点就退出
	         return
	     # 根结点
	     print(node.elem, end=" ")
	     # 遍历节点的左子树
	     self.preorder(node.lchild)
	     # 遍历节点的右子树
	     self.preorder(node.rchild) 	
 
	def inorder(self, node):
      """递归实现中序遍历：左子树->右子树->根节点"""
      if node == None:
          return
      self.inorder(node.lchild)
      print(node.elem, end=" ")
      self.inorder(node.rchild)

	def postorder(self, node):
      """递归实现后续遍历: 左子树->右子树->根节点"""
      if node == None:
          return
      self.postorder(node.lchild)
      self.postorder(node.rchild)
      print(root.elem, end=" ")


if __name__ == "__main__":
 	tree = Tree()
 	tree.add(1)  
 	tree.add(2)
 	tree.add(3)
 	tree.add(4)
 	tree.add(5)
 	tree.add(6)
 	tree.add(7)
 	tree.add(8)
 	tree.add(9)
	tree.breadth_travel()   
	print("") # 换行
	tree.preorder(tree.root)   # 先序
	tree.inorder(tree.root)    # 中序
	tree.postorder(tree.root)  # 后序		

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

深度优先遍历

先序遍历： 0， 1， 2 -->> 先根，接着左，最后右
中序遍历： 1，0， 2 -->> 左， 根， 右
后序遍历： 1，2， 0 -->> 左， 右， 根

先序遍历 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树
根节点->左子树->右子树

中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树
左子树->根节点->右子树

后序遍历 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点
左子树->右子树->根节点

二叉树由遍历确定一个树

只要有中序，就可以确认一棵树，就可以分开；只有左序和右序，无法分开左右。

先，第一个根，即0，
中，根讲左右分开。
用先序元素来确定根，中序来区分左右。然后递归后续遍历

后序：确定根
中序：区分左右子树