快速排序

思路

1. 确定分界点的值x

三种选择：取左边界q[l]，取中间值q[(r + 1)/2]，取右边界q[r]

2. 调整区间

把该序列分为两部分，使得所有小于等于x的在左边部分，大于等于x的在右边部分

实现方法1-略暴力

1. 定义两个数组a,b
2. 扫描数组q，把小于x的放入a数组，把大于等于x的放入b数组
3. 把a，b赋值给q

实现方法2-推荐

1. 定义两个指针i, j分别指向q的左右两端

2. i向左移动，直到遇到q[i] > x暂停

3. 随后，j向右移动，直到遇到q[j] < x暂停

4. 交换q[i]和q[j]的值，然后i向左移动一次，j向右移动一次

5. 当i < j时，重复2~4步

3. 递归处理

对左右两部分递归执行1，2两步

时间复杂度 Θ(nlogn)

期望上，快速排序平均分为logn层（因为分界值的选择不同而产生差异），每层的扫描交换复杂度之和是O(n)所以平均时间复杂度Θ(nlogn)

模板

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(r <= l)	return;
    int x = q[(l + r) >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
    while(i < j)
    {
        do i++; while(q[i] < x);
        do j--; while(x < q[j]);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
	}
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
}

练手

AcWing 785. 快速排序

AcWing 786. 第k个数

归并排序

思路

1. 确定分界点

使用数组的中间点为分界点，即mid = (left + right) / 2

2. 递归对左右两部分进行排序

3. 将左右两部分合二为一

大致思路是使用两个指针分别指向两部分的开头，再定义一个数组res存放两部分有序合并的结果

比较两个指针指向的值，将较小的存入res，对应的指针向后移动，较大的不动，按照这个规则重复直至两部分都存入了res即可

时间复杂度 O(nlogn)

递归地进行二分，一直到左右两部分各一个元素，一共可以分为logn层，然后进行合并

每层无论被范围多少部分，加起来都是n个元素，即每层合二为一的复杂度是O(n)，得到整个算法的复杂度是O(nlogn)

模板

int tmp[N];
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(r <= l) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
        if(q[i] <= q[j])tmp[k++] = q[i++];
        else			tmp[k++] = q[j++];
   	while(i <= mid) 	tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r)	tmp[k++] = q[j++];
    for(int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j)	q[i] = tmp[j];
}

练手

AcWing 787. 归并排序

AcWing 788. 逆序对的数量

我们求逆序对总数实际上就是上面三种情况的逆序对数量之和，逆序对两元素都在左半部分和都在右半部分交给递归处理即可，主要需要处理的就是跨越左半部分和右半部分的情况

这种情况下，我们在一旦在左半部分发现q[i]大于右半部分的q[j]，那么在左半部分中q[i]及它后面的mid - i个元素都和q[j]构成逆序对，跨越情况的逆序对+ (mid - i + 1)

注意当数组有n个元素时，逆序对的数量最大的情况出现在 n - 1, n - 2, ..., 0这种序列的情况下，逆序对数量为(n - 1) + (n - 2) + ... + 1 + 0，数量级在 O ( n 2 ) O(n^{2}) O(n2)，这种情况下注意有时需要将逆序对的计数变量定义为long long

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
int q[N], tmp[N];
int n;

ll merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(r <= l)  return 0;
    int mid = (l + r) >> 1;
    ll res = merge_sort(q, l, mid) + merge_sort(q, mid + 1, r);
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    if(q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
    else
    {
        res += mid - i + 1;
        tmp[k++] = q[j++];
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r)   tmp[k++] = q[j++];
    for(int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = tmp[j];
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; ++i)  scanf("%d", &q[i]);
    cout << merge_sort(q, 0, n - 1) << endl;
    return 0;
}