出发点

对于一个样本，有输入和输出结果，我们的目的是优化训练我们的模型，使得对于样本输入，模型的预测输出尽可能的接近真实输出结果。现在需要一个损失函数来评估预测输出与真实结果的差距。

均方误差

回归问题

样本有若干维，每一维都有一个真实值。我们要将样本的数据通过我们的模型预测也得到同样多的预测值，真实值可以看成一个向量，预测值也一样。预测值向量要在某种定义下与真实值向量是接近的。

定义

\[L={1\over N}\sum\limits_{i=1}^{N}(\hat y_i-y_i)^2 \]

其中\(N\)为样本的总维数，\(y_i\)表示第i维的真实值，\(\hat y_i\)表示第i维的预测值，这个误差函数是容易理解的。

如果把这个样本看做N维空间中的一个向量，均方误差实际上是这真实值与预测值两个向量的欧氏距离

均方误差实际上就是一种衡量“有多近”的标准，这个距离的定义显然是合适的。

在实际应用中，我们需要利用梯度方法训练模型，因此损失函数应当是容易计算梯度并且不会产生梯度消失的。

考虑\(L\)对每个\(\hat y_i\)的偏导

\[{\partial L\over \partial \hat y_i}={1\over N}2(\hat y_i-y_i) \]

当预测值与真实值差别越大，即\(|\hat y_i-y_i|\)越大时，梯度的绝对值也是更大的，这符合我们的要求。

分类问题

与回归问题不同的是，样本的每一维的真实值不是连续，有序的，而是一个个离散的类别。

这些类别不仅不连续（离散），而且还是无序的，如果仍然用回归问题的思路，直接去这个\(\hat y_i\)表示把第\(i\)维归入哪一类显然是不合适的，因为不存在2.5类这样的东西。在这种情况下传统的均方误差也不适用了。因为第1类与第2类的差距并不一定比第1类与第9类的差距小，然而\((2-1)^2<(9-1)^2\)，也就是说类之间没法定义“距离”的概念了。

如果我们换一种思路呢，尝试预测分到每一类的概率？

概率分布

假设总共有\(K\)类，对于每一维的预测值不是一个类别的确定值，而是一个K维的向量，代表分到每一类的一个概率分布。

设\(z_i^k\)表示样本第\(i\)维被分到第k类的概率

神经网络直接得到出来的预测值并不能满足概率的要求——和为1

那么将这个预测值过一个Softmax

即

\[p_i^k={\text e^{z_i^k}\over \sum\limits_{j=1}^{K}\text e^{z_i^j}} \]

这样就得到了一个和为1的概率分布，同时这个概率分布很好的突出了最大值（指数关系）。

举例，[1,5,3]，通过softmax后得到的是[0.015,0.866,0.117]

那对应的真实值又是什么呢？

如果训练数据中样本每一维的Label就是确定的类别，那么就是一个只有正确的类那一维概率为1，其他维都为0的K维向量。

设第i维的真实类别为\(y_i\)，那么

\[p_i^k=\begin{cases}1,&k=y_i\\0,&else \end{cases} \]

在某些特殊情况中，训练数据的Label不是确定的类别，而也是一个概率分布。

既然是两个向量的差异，那这样我们不可以直接做均方差吗？

\[L={1\over N}\sum\limits_{i=1}^N{1\over K}\sum\limits_{k=1}^K(\hat p_i^k-p_i^k)^2 \]

（同样用\(\hat p_i^k\)代表预测值）

在实际情况中，分类问题往往不像回归问题那样要同时考虑多维，分类问题的样本往往就是一维的（N=1），就是这个东西要分到哪一类，其实也就是加起来除以N的区别，不妨设N=1，那么下标\(i\)可以去掉了。

得到

\[L={1\over K}\sum\limits_{k=1}^K(\hat p_k-p_k)^2 \]

我们下面将说明，在这里用均方差是不合适的。

梯度消失

由于这里的\(p\)是\(z\)过了一遍softmax的结果，我们还要把这个加上

\[{\partial L\over \partial \hat z_k}={\partial L\over \partial \hat p_k}{\partial \hat p_k\over \partial \hat z_k} \]

\[{\partial L\over \partial \hat p_k}={1\over K}2(\hat p_k-p_k) \]

就是先前求过的均方差的梯度

设

\[S=\sum\limits_{j=1}^{K}\text e^{\hat z_j} \]

则

\[{\partial \hat p_k\over \partial \hat z_k}={\text e^{\hat z_k}(S-\text e^{\hat z_k})\over S^2}=\hat p_k(1-\hat p_k) \]

所以

\[{\partial L\over \partial \hat z_k}={1\over K}2(\hat p_k-p_k)\hat p_k(1-\hat p_k) \]

我们前面说过，softmax的特点是突出大值，最大的那个\(\hat p_k\)大了，其他的就自然小了，\(\hat p_k\)不仅与\(\hat z_k\)有关，更重要的是\(\hat z_k\)在所有\(\hat z\)中的相对大小而不是绝对大小，所以我们主要关心真实概率\(p_k\)较大的那些类，只需要那些类被突出出来，其他自然就小了。

大的概率值应该是怎么样的？

真实概率\(p_k\)较大，预测出来的\(\hat p_k\)我们也希望它比较大，当\(\hat p_k\)很小的时候就错了，这个时候梯度绝对值应该更大

这时候就出问题了，当预测出来\(\hat p_k\)特别接近0的时候，均方差计算出的梯度非常小，当\(\hat p_k=0\)时梯度直接消失了，这明显是有问题的。这就需要我们使用新的损失函数。

交叉熵

交叉熵本身是用来计算两个概率分布之间的差异性信息的。

定义式是这样的

\[L=-\sum\limits_{k=1}^K p_k\log \hat p_k \]

log外面的是第k类的真实概率，里面的是第k类的预测概率

（在绝大多数分类问题中，\(p_k\)只有一个是1，其他都是0，都是确定的分类任务，也就是说求和式只有一项。但不失一般性，我们还是按照原来的形式讨论）

现在我们来求它的梯度

求梯度

\[{\partial L\over \partial \hat z_k}={\partial L\over \partial \hat p_k}{\partial \hat p_k\over \partial \hat z_k} \]

其中

\[{\partial \hat p_k\over \partial \hat z_k}={\text e^{\hat z_k}(S-\text e^{\hat z_k})\over S^2}=\hat p_k(1-\hat p_k) \]

这一部分与上面是一样的。

而

\[{\partial L\over \partial \hat p_k}=-{p_k\over \hat p_k} \]

那么

\[{\partial L\over \partial \hat z_k}=-p_k(1-\hat p_k) \]

真实概率\(p_k\)较大，当\(\hat p_k\)很小的时候，梯度绝对值应该更大，可以观察到上式是符合突出大值的要求的，在这种情况下按照梯度下降法走一步，\(\hat z_k\)的增大量会比其他\(z\)要大，\(\hat p_k\)就会被突出。

另外的想法

网上还有一些说法是，在分类问题中我们只关心最大值（因为最后输出的答案还是要找一个概率最大的输出），把整个分布拟合的那么像没有意义。

在确定的分类任务中，对于那些错误的类（\(p_k=0\)，预测值\(\hat p_k\)是多少并不重要，只要它不是最大的那个就行了，所以它是\(0.1\)还是\(0.01\)并不一定有很大的差别，而均方误差的目标是概率分布的完全拟合，它可能过于严格了。）